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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{a \cdot 2^{x} + 1 - b} (a > 0)$ ，且 $f (- 1) + f (1) = 0$ ．

(1)、求 $a + b$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - 2^{x}$ 存在零点，求a的取值范围；

(3)、若 $a = 1$ ，证明： $\forall m > 1, f (\log_{3} m) > {[f (\log_{5} m)]}^{2}$ ．

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2、过点 $M (- 1, m)$ 作抛物线 ${C : y}^{2} = 2 p x, (p > 0)$ 的两条切线，切点分别为 $A (x_{1}, y_{1})$ 和 $B (x_{2}, y_{2})$ ，又直线 $A B$ 经过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ ，那么 $\frac{y_{1} y_{2}}{k_{M A} k_{M B}}$ =.

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3、如果拉伸两个端头，哪一根绳子会打结？（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、已知曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 2 |x| + 4 |y|$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点， $P$ ， $Q$ 是曲线 $C$ 上任意两点，则（）

A、曲线 $C$ 是中心对称图形 B、曲线 $C$ 圈成图形的面积为 $16 + 10 π$ C、 $| P Q |$ 的最大值为 $4 \sqrt{5}$ D、 $△ A B P$ 的面积最大值为 $8$

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5、如图所示的太极图是由黑、白两个鱼纹组成的图案．定义：能够将圆 $O$ 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆 $O$ 的一个“太极函数”，则下列说法中正确的是（）

A、对于任意一个圆 $O$ ，其“太极函数”有无数个 B、函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 可以是某个圆的“太极函数” C、正弦函数 $y = sin x$ 可以同时是无数个圆的“太极函数” D、 $y = f (x)$ 是“太极函数”的充要条件为“ $y = f (x)$ 的图象是中心对称图形”

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6、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，且 $b = 1$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则AB边上的中线长为（）

A、 $7$ B、 $3$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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7、已知椭圆 $C$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 是 $C$ 上一点且位于 $y$ 轴右侧，直线 $P F_{2}$ 的斜率为2， $△ P F_{1} F_{2}$ 是面积为4的直角三角形，则 $C$ 的标准方程是（）

A、 $\frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ . D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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8、 $A = {(x, y) | 2 x + y = 4}$ ， $B = {(x, y) | x + 2 y = 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 $(1, 2)$ C、 ${(1, 2)}$ D、 ${(2, 1)}$

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9、已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $5 \sqrt{3} π$ D、 $7 \sqrt{3} π$

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10、若复数 $z = cos (\frac{π}{4} - θ) + 3 i$ 是纯虚数，则 $θ$ 的值可以为（）

A、 $2 π$ B、 $\frac{5 π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{9 π}{4}$

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11、已知椭圆C的两个焦点 $F_{1} (- 2, 0)$ ， $F_{2} (2, 0)$ ，过 $F_{1}$ 点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点， $△ M N F_{2}$ 的周长等于16.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若过点 $P (- 8, 0)$ 的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线 $A F_{1}$ ， $B F_{1}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .
（i）求证： $k_{1} + k_{2}$ 为定值；
（ii）求 $△ A B F_{1}$ 面积的最大值.

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12、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A B = 1$ ， $B C = A A_{1} = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥ C D$ ；

(2)、若点 $M$ 在 $A A_{1}$ 上，当 $A M = 1$ 时，求二面角 $B - M C - D$ 的余弦值．

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13、若数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为.

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14、如图，已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，动点 $M$ 是 $△ A_{1} B C_{1}$ 内部一点（含边界），则下列选项正确的是（）

A、动点 $M$ 在运动的过程中，三棱锥 $M - A C D_{1}$ 的体积是定值 B、对于任意 $M$ ， $A_{1} M ⊥$ 平面 $D B_{1} C$ C、动点 $M$ 到直线 $C D$ 的距离最小值为 $\sqrt{2}$ D、满足 $A M = \frac{2 \sqrt{5}}{3}$ 的 $M$ 的轨迹长度为 $\frac{2 \sqrt{2} π}{9}$

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15、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为棱 $A_{1} A$ 和 $B_{1} B$ 的中点，则 $C M$ 和 $D_{1} N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{9}$

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16、圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ 的圆心坐标为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(- 1, - 2)$ D、 $(- 1, 2)$

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17、已知 $f (x) = x^{2} - 2 x ln x - 1$ .

(1)、求证：当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ；

(2)、设 $a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{1 + k} - ln n$ .
（ⅰ）求证：数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列；
（ⅱ）求证： $|a_{n}| \leq \frac{1}{2}$ .

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18、在 $△ A B C$ 中， $A (0, - 3), B (0, 3), 3 sin B - 3 sin A = sin C$ ，则顶点C的轨迹方程是.

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19、 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{1 - 2 i}{1 + i}$ 的共轭复数为.

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20、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别为 $A C, A_{1} B$ 的中点，则（）

A、 $M N$ $∥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ B、 $M N ⊥ A C_{1}$ C、直线 $M N$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ D、平面 $M N D_{1}$ 经过棱 $A_{1} B_{1}$ 的三等分点

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