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相关试卷

1、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A C = B C = 2 B_{1} C_{1}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别为 $B C$ ， $A B$ 的中点， $C_{1} D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C D = C_{1} D$ ．

(1)、若平面 $D E B_{1} \cap$ 平面 $A_{1} C_{1} B = l$ ，求证： $D E ∥ l$ ；

(2)、求直线 $A_{1} C$ 与平面 $A_{1} C_{1} B$ 所成角的正弦值．

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2、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $a sin B = b cos (A + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{3} c$ ，且 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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3、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形，侧棱 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P B C$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积为．

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4、现从5名男生、4名女生中分别选3名男生和2名女生参加社区服务，若其中男生甲和女生乙至少有一人被选派的情况下，这两人均被选派的概率为．

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5、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (4 x + 1)$ 为偶函数， $f (x + 2) - 2$ 为奇函数，且 $f (1) = 0$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2025} f (k) =$ （）

A、4040 B、4044 C、4046 D、4048

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6、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，抛物线 $y^{2} = 3 x$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于点 $A$ ． $O$ 为坐标原点，若 $△ A O F$ 为正三角形，则双曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

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7、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 、 $N$ 分别棱 $B B_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，则下列选项正确的是（）

A、 $A_{1} M ∥ C N$ B、 $A_{1} B_{1} ⊥ M C$ C、 $M N ⊥$ 面 $A A_{1} C_{1} C$ D、 $M N / /$ 面 $A_{1} B D$

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8、函数 $f (x) = \sin (x - \frac{π}{6}) - \cos x$ 的最小值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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9、遵义羊肉粉是黔北民众最喜爱的小吃之一.2024年12月16日，遵义市第七届羊肉粉节在凤凰山文化广场盛大开幕，某商家为了调研顾客对本店就餐的满意度，从用过餐的顾客中随机抽取100名进行评分．整理评分数据，将收集到的顾客满意度分值数据（满分100分）分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， …， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（）

A、这100名顾客评分的极差介于40分至50分之间 B、这100名顾客评分的中位数小于80分 C、 $a = 0.030$ D、这100名顾客评分的平均值介于60分到70分之间

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10、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的交点都在圆C上，则圆C与x轴正半轴的交点坐标为（）

A、 $(3, 0)$ B、 $(4, 0)$ C、 $(\frac{9}{2}, 0)$ D、 $(5, 0)$

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11、已知集合 $A = {x | \frac{1}{x} < 1}$ ， $B = {x | - 2 < x < 1}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(- 2, 0]$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $[0, 1)$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - 2^{- x} + a, x < 0 \\ 2^{x} - a, x > 0 \end{array} (a \in R)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、若 $f (x)$ 在定义域上是增函数，则 $a \leq 1$ C、若 $f (x)$ 的值域为 $R$ .则 $a \geq 1$ D、当 $a \leq 1$ 时，若 $f (x) + f (3 x + 4) > 0$ ，则 $x \in (- 1, + \infty)$

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13、已知 $f (x) = |\ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)|$ ，若 $a = f (\ln \frac{2}{3})$ ， $b = f (\frac{1}{3})$ ， $c = f (\tan \frac{1}{2})$ 则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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14、设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，称 $y = [x]$ 为取整函数.例如： $[1] = 1$ ， $[0.5] = 0$ ， $[- 0.5] = - 1.$ 已知函数 $f (x) = 2^{[sin x]} + 2^{[cos x]}$ ，则 $f (\frac{5 π}{6}) =$ $; f (x)$ 的值域为.

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15、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $|φ| \leq \frac{π}{2}$ ）， $x = - \frac{π}{8}$ 为 $f (x)$ 的零点， $x = \frac{π}{8}$ 为 $y = f (x)$ 图象的对称轴，且 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{18}, \frac{π}{9})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为（）

A、10 B、12 C、14 D、18

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16、已知 $M$ 是边长为1的正 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上靠近C的四等分点， $N$ 为 $A B$ 的中点，则 $\vec{B M} \cdot \vec{M N}$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的焦点在 $x$ 轴上，点 $P (1, 1)$ ，则（）

A、 $P$ 在 $C$ 外 B、 $C$ 的长轴长为 $\sqrt{2}$ C、 $P$ 在 $C$ 内 D、 $C$ 的焦距为 $2 b$

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18、已知函数 $f (x) = \sin ω x - \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、点 $(- \frac{5 π}{6}, 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{11 π}{12})$ 上单调递减 D、将 $f (x)$ 的图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，可得到 $y = 2 \cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象

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19、已知边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 120 °$ ， P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且 $P Q ⊥ B D$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{C Q}$ 的最大值是．

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20、若函数 $f (x) = \frac{|x| - 2}{x^{2} - 4} + 1$ ，定义域为 $D$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $\exists x \in D$ ，使 $f (x) = \frac{5}{4}$ C、 $f (x)$ 在 $[0, 2)$ 和 $(2, + \infty)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的值域为 $(0, \frac{3}{2}]$

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