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相关试卷

1、函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图像如图所示，以下命题正确的是（）

A、 $f (- 1)$ 是函数的最小值 B、 $f (- 1)$ 是函数的极值 C、 $y = f (x)$ 在区间 $(- 3, 1)$ 上不单调 D、 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线的斜率大于0

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足：公差 $d \neq 0$ ， $13 a_{7} = 12 a_{6}$ ， $a_{m} = 0$ ，则 $m =$ （）

A、17 B、18 C、19 D、20

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3、如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．

(1)、证明：D₁E⊥A₁D；

(2)、当E为AB的中点时，求异面直线AC与D₁E所成角的余弦值；

(3)、AE等于何值时，二面角D₁﹣EC﹣D的大小为 $\frac{π}{4}$ ．

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4、已知直线 $l$ 的方向向量 $\vec{n} = (1, 0, - 1)$ ， $A (2, 1, - 3)$ 为直线 $l$ 外一点. 若点 $P (- 1, 0, - 2)$ 为直线外一点，则P到直线 $l$ 上任意一点 $Q$ 的距离可能为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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5、下列有关数列的说法正确的是（）

A、数列-2023，0，4与数列4，0，-2023是同一个数列 B、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n (n + 1)$ ，则110是该数列的第10项 C、在数列 $1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, \cdot \cdot \cdot$ 中，第8个数是 $2 \sqrt{2}$ D、数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 $a_{n} = 2^{n} + 1$

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6、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，其前n项和 $S_{n} = p a_{n + 1} + r (n \in N^{*}, p > 0)$ .则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为p B、数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 C、 $r = - p - 1$ D、当 $p - \frac{1}{4 r}$ 取最小值时， $a_{n} = 3^{n - 1}$

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7、如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直， $A B = \sqrt{2}$ ， $A F = 1$ ， M在EF上，且 $A M / /$ 平面BDE，则M点的坐标为（）

A、 $(1, 1, 1)$ B、 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

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8、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $4 a_{1} + a_{3} = 8$ ， $S_{n}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，则 $S_{5} =$ （）

A、63 B、48 C、31 D、15

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9、直线 $x - \sqrt{3} y - 1$ ＝ $0$ 的倾斜角 $α$ ＝（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，其中一个焦点的坐标为 $(1,, 0)$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过左焦点的直线交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $P$ 在 $C$ 上.
（i）若 $△ P A B$ 的重心 $G$ 为坐标原点，求直线 $A B$ 的方程；
（ii）若 $△ P A B$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，求 $G$ 的横坐标的取值范围.

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11、已知函数 $f (x) = a \ln x + x^{2}$ （a为实常数）．

(1)、若 $a = - 1$ ，求证： $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上是增函数；

(2)、当 $a = - 4$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最大值与最小值及相应的x值；

(3)、若存在 $x \in [1, e]$ ，使得 $f (x) \leq (a + 2) x$ 成立，求实数a的取值范围．

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12、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和．

(1)、证明 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列；

(2)、设 $T_{n}$ 为数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{4} = 12, S_{8} = 56$ ，求 $T_{n}$ ．

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13、如图，已知在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $A B ∥ C D, A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ，其中 $A B = A A_{1} = 4, A D = D C = 2$ ， $E$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $F$ 是 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $D_{1} E //$ 平面 $C B_{1} F$ ；

(2)、求平面 $C B_{1} F$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值．

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14、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，双曲线的渐近线的斜率小于 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $e_{1}$ 取值范围为．

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15、数列 $a_{n} = \{\begin{cases} 18, n = 1 \\ a_{n - 1} - 4, 1 < n \leq 6 \end{cases}$ ，通过数列图象上所有点的直线的斜率．

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16、曲线 $f (x) = e^{x} - 2 x$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程是．

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17、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， E为棱 $B B_{1}$ 的中点，F为棱 $C C_{1}$ （含端点）上的一个动点给出下列四个结论正确的是（）

A、存在符合条件的点F，使得 $B_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E D$ ； B、不存在符合条件的点F，使得 $B F ⊥ D E$ ； C、异面直线 $A_{1} D$ 与 $E C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ； D、三棱锥 $F - A_{1} D E$ 的体积的取值范围是 $[\frac{2}{3}, 2]$ ．

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18、下列说法正确的有（）

A、直线倾斜角越大，斜率越大 B、过点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ 的直线方程是 $\frac{x - x_{1}}{x_{1} - x_{2}} = \frac{y - y_{1}}{y_{1} - y_{2}}$ C、经过点 $(1, 1)$ 且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D、直线 $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1$ 在y轴上的截距是 $- 3$

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19、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，下列选项中，能成为空间中的一组基底的为（）

A、 $\{\vec{D A}, \vec{D C}, \vec{D D_{1}}\}$ B、 $\{\vec{A C}, \vec{A_{1} C}, \vec{B B_{1}}\}$ C、 $\{\vec{A_{1} B}, \vec{B D_{1}}, \vec{D C}\}$ D、 $\{\vec{A_{1} B}, \vec{A_{1} D}, \vec{B_{1} D_{1}}\}$

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20、已知点 $O (0, 0)$ ，点P满足 $| P O | = 1$ ，则点P到直线 $x - m y - 4 = 0$ 的距离的最大值为（）

A、2 B、4 C、3 D、5

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