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相关试卷

1、已知 $i$ 是虚数单位， $\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭复数，复数 $z$ 满足 $\frac{\bar{z} - 1}{z + i} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ ，则下列正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $- i$ B、 $|z| = \sqrt{5}$ C、 $\frac{\bar{z}}{1 - 2 i}$ 是纯虚数 D、若 $z$ 是方程 $2 x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，则 $p + q = 18$

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a^{2} = b^{2} + c^{2} + b c, sin C = 2 sin B$ ， $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ 依次是边 $B C$ 的四等分点（ $M_{1}$ 靠近 $B$ 点），记 $d_{1} = \vec{A M_{1}} \cdot \vec{A M_{2}}, d_{2} = \vec{A M_{1}} \cdot \vec{A M_{3}}, d_{3} = \vec{A M_{2}} \cdot \vec{A M_{3}}$ ，则（）

A、 $d_{3} > d_{2} > d_{1}$ B、 $d_{3} > d_{1} > d_{2}$ C、 $d_{1} > d_{3} > d_{2}$ D、 $d_{1} > d_{2} > d_{3}$

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3、 $D$ 是 $Rt △ A B C$ 斜边 $B C$ 上一点，若 $A B = A D, A C = \sqrt{3} D C$ ，则 $sin ∠ A B C$ 的值（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{c}| = 1, \vec{a} \cdot \vec{c} = 1, \vec{b} \cdot \vec{c} = - 3, |\vec{a} + \vec{b}| = 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{5}{4}$ B、 $- \frac{7}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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5、在 $△ A B C$ 中， $A B = 5, B C = 6, A C = 7$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{15}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $6 \sqrt{6}$

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6、已知正三角形 $A B C$ 的边长为1，则 $|\vec{A C} - \vec{C B}|$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7、在下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0), \vec{e_{2}} = (1, 1)$ B、 $\vec{e_{1}} = (2, - 4), \vec{e_{2}} = (- 1, 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (- 2, 3), \vec{e_{2}} = (4, 2)$ D、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3), \vec{e_{2}} = (1, - \frac{3}{2})$

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8、已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(- 1, 2)$ ，则 $(1 + i) \cdot z =$ （）

A、 $- 3 + i$ B、 $3 - i$ C、 $- 1 - 3 i$ D、 $1 + 3 i$

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9、已知 $a > b > 0$ 且 $a b = 10$ ，则下列结论中不正确的是（）

A、 $lg a + lg b > 0$ B、 $lg a - lg b > 0$ C、 $lg a \cdot lg b < \frac{1}{4}$ D、 $\frac{\lg a}{\lg b} > 1$

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10、设正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之和 $b_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积 $c_{n} = b_{1} b_{2} \dots b_{n}$ ，且 $b_{n} + c_{n} = 1$ ．

(1)、求证： $\{\frac{1}{c_{n}}\}$ 为等差数列，并分别求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{a_{n} \cdot b_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，不等式 $S_{n} > \frac{1}{λ} + λ - \frac{13}{6}$ 对任意正整数 $n$ 恒成立，求正实数 $λ$ 的取值范围．

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11、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为F，过点F且斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若 $|A B| \geq \sqrt{3} |D F|$ ，则双曲线的离心率取值范围是（）

A、 $(1, \frac{2 \sqrt{3}}{3}]$ B、 $(1, \sqrt{3}]$ C、 $[\sqrt{3}, + \infty)$ D、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， + \infty)$

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12、定义：若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的两个点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 满足 $\frac{x_{1} x_{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1} y_{2}}{b^{2}} = 0$ ，则称 $A, B$ 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 $[A, B]$ .已知椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且椭圆 $C$ 过点 $A (2, 1)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、求“共轭点对” $[A, B]$ 中点 $B$ 所在直线 $l$ 的方程；

(3)、设 $O$ 为坐标原点，点 $P, Q$ 在椭圆 $C$ 上， $P Q$ $/ /$ $O A$ ，（2）中的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于两点 $B_{1}, B_{2}$ ，且 $B_{1}$ 点的纵坐标大于 $0$ ，设四点 $B_{1}, P, B_{2}, Q$ 在椭圆 $C$ 上逆时针排列.证明：四边形 $B_{1} P B_{2} Q$ 的面积小于 $8$ .

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13、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C$ 的圆心在直线 $y = 1$ 上，且过点 $A (4, 3), B (2, 1)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知第二象限内的点 $D$ 在圆 $O$ 上，过点 $D$ 作圆 $O$ 的切线 $l_{1}$ 恰好与圆 $C$ 相切，求 $l_{1}$ 的斜率；

(3)、判断是否存在斜率为1的直线 $l_{2}$ 与圆 $O$ 交于点P，Q，与圆 $C$ 交于点M，N，且 $| M N | = 2 \sqrt{3}$ ，若存在，求出 $|P Q|$ ；若不存在，请说明理由．

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14、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} = a_{1}^{2} a_{2}, a_{4} = 128$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{\log_{2} a_{n} \log_{2} a_{n + 1}}$ ， $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} = \frac{10}{21}$ ，求正整数 $n$ 的值．

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15、已知 $A$ ， $B$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右顶点， $|A B| = 2$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 上第二象限内的点，设直线 $A P$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B P$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = 3$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为；当 $k_{1} + 2 k_{2}$ 取得最大值时，则点 $P$ 的纵坐标为．

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16、已知点 $A (1, 1, - 1)$ 在平面 $α$ 内，点 $P (0, 2, - 1)$ 在 $α$ 外，且 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (1, - 2, - 1)$ ，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离为．

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17、已知 $m \neq 0$ ，直线 $l_{1} : m x - 3 y - 1 = 0, l_{2} : (3 m - 2) x - m y + 2 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $m$ 的值为.

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18、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q = - 2$ ， $a_{2} = 4$ ，则（）

A、 $a_{1} = - 2$ B、 $a_{3} + a_{4} = 6$ C、 $S_{5} = - 22$ D、数列 $\{a_{n} a_{n + 1}\}$ 是公比为 $4$ 的等比数列

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19、已知向量 $\vec{m} = (2, - 1, 1), \vec{n} = (- 4, 2, - 2)$ 分别为两个不同的平面 $α, β$ 的法向量， $\vec{c} = (1, 0, - 2)$ 为直线 $l$ 的方向向量，且 $l ⊄ β$ ，则（）

A、 $α$ $∥$ $β$ B、 $l$ $∥$ $β$ C、 $l ⊥ α$ D、 $α ⊥ β$

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20、设 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 3 x$ 的焦点，过 $C$ 上一点 $M$ 作其准线的垂线，垂足为 $N$ ，若 $|M F| = 3$ ，则 $∠ F M N =$ （）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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