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相关试卷

1、“ $\infty$ ”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线 $C$ 过坐标原点 $O$ ， $C$ 上的点到两定点 $F_{1} (- a, 0)$ ， $F_{2} (a, 0) (a > 0)$ 的距离之积为定值．请写出下列所有正确结论的序号（参考数据： $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）
①若 $|F_{1} F_{2}| = 12$ ，则 $C$ 的方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 72 (x^{2} - y^{2})$
②若 $C$ 上的点到两定点 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之积为16，则点 $(- 4, 0)$ 在 $C$ 上
③若 $a = 3$ ，点 $(3, y_{0})$ 在 $C$ 上，则 $2 < y_{0}^{2} < 3$
④当 $a = 3$ 时， $C$ 上第一象限内的点 $P$ 满足 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{9}{2}$ ，则 ${|P F_{1}|}^{2} - {|P F_{2}|}^{2} = 18 \sqrt{3}$

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2、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点 $M$ 是棱 $A B$ 的中点，点 $P$ 是平面 $A B C D$ 内的动点，且 $P$ 到平面 $A D D_{1} A_{1}$ 的距离等于线段 $P M$ 的长度，则点 $P$ 的轨迹为，线段 $B_{1} P$ 长度的最小值为．

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3、已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 满足 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = \frac{1}{2}$ ，则 $|\vec{e_{1}} - t \vec{e_{2}}| (t \in R)$ 的最小值为.

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4、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 1 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z^{2025}$ 的值为．

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5、如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）

A、图（1）的平均数＝中位数＞众数 B、图（2）的众数＜中位数＜平均数 C、图（2）的平均数＜众数＜中位数 D、图（3）的中位数＜平均数＜众数

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6、对于非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ， “ $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| - |\vec{b}|$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相反”的（）条件．

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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7、设数据1，2，3，4，5的第m百分位为 $f (m)$ ， $M = {y | y = f (m), m \in N, 1 \leq m \leq 100}$ ，则集合M中元素的个数为（）

A、5 B、6 C、9 D、100

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8、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ 、 $\vec{b} - \vec{c}$ 、 $\vec{a} + \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}$ 、 $\vec{b} + \vec{c}$ 、 $\vec{a} + \vec{b}$ C、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 、 $\vec{a} + 2 \vec{c}$ 、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{c}$ 、 $\vec{a} - \vec{b}$ 、 $\vec{b} - \vec{c}$

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ ， $g (x) = x ln x$ .

(1)、若 $f (x)$ 存在极小值，且极小值为 $- 1$ ，求 $a$ ；

(2)、若 $f (x) \geq g (x)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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10、设 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A (0, 3)$ 为定点，而点 $B$ 在椭圆上，且位于第一象限，若 $|A B| = |A F_{2}| = 2 |O F_{2}|$ ，则（）

A、 $a^{2} - b^{2} = 3$ B、 $∠ F_{1} B F_{2} = 60 °$ C、当 $△ B F_{1} F_{2}$ 的面积为 $6 - 3 \sqrt{3}$ 时， $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、当 $A B / / x$ 轴时， $C$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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11、如图，空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ， $\vec{B N} = \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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12、如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q} = |\vec{P Q}|$ ；

(1)、求∠PAQ的大小；

(2)、求 $△ A P Q$ 面积的最小值；

(3)、某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“ $△ A P Q$ 中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由．

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13、已知 $A (1, 1)$ ， $B (m, 2)$ ， $C (- 2, 3)$ ， $D (- 1, n)$ 是复平面上的四个点，其中 $m$ ， $n \in R$ ，且向量 $\overset{⃑}{B C}$ ， $\overset{⃑}{A D}$ 对应的复数分别为 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ．
（1）若 $z_{1} - z_{2} = 1 - i$ ，求 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ；
（2）若 $|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{2} |z_{1}| = 2$ ， $z_{2}$ 对应的点在复平面内的第二象限，求 $\frac{z_{2} - \sqrt{3} i}{z_{1} - 1}$ ．

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14、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} b$ ．

(1)、若 $b = 2$ ， $c = 3$ ，求 $a$ 的值：

(2)、若 $a^{2} = b c$ ，判断 $△ A B C$ 的形状．

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15、已知 $|\overset{⃑}{a}| = 4$ ，向量 $\overset{⃑}{b} = (- 1, \sqrt{3})$ ．

(1)、若向量 $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{b}$ ，求向量 $\overset{⃑}{a}$ 的坐标；

(2)、若向量 $\overset{⃑}{a}$ 与向量 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为120°，求 $|\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ．

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16、“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为 $O T$ ，测量小组选取与塔底 $O$ 在同一水平面内的两个测量点 $A$ 和 $B$ ，现测得 $∠ O B A = 105 °, ∠ O A B = 45 °, A B = 45$ m，在点 $B$ 处测得塔顶 $T$ 的仰角为 $30 °$ ，则塔高 $O T$ 为m．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{N C}$ ， $P$ 是 $B N$ 上的一点，若 $\vec{A P} = \frac{3}{11} \vec{A B} + m \vec{A C}$ ，则实数 $m$ 的值为.

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18、复数 $z = i^{2025} (1 + i) - a$ 为纯虚数，则实数 $a$ 的值为．

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19、在 $△ A B C$ 中， $\sin \frac{C}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}, B C = 10, A C = 2$ ，则（）

A、 $A B = 4 \sqrt{5}$ B、 $△ A B C$ 的面积为8 C、 $\vec{C A} \cdot \vec{B C} = 12$ D、 $△ A B C$ 的内切圆半径是 $3 - \sqrt{5}$

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20、已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\overset{⃑}{A B} = 2 \vec{a}$ ， $\overset{⃑}{B C} = \vec{b}$ ，则（）

A、 $\overset{⃑}{A C} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ C、 $(4 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \overset{⃑}{B C}$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$

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