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相关试卷

1、（1）某工厂有一种水晶球需用礼盒包装，为节省费用，设计的礼盒需刚好卡住球．现有两种设计方案，一种是正方体礼盒（如图（1）），另一种是圆柱形礼盒（如图（2）），在不计损耗的情况下圆柱形礼盒单位面积的费用是正方体礼盒的1.6倍，问：工厂选择哪一种礼盒更经济实惠？

（2）设某长方体礼盒的长 $A B$ ，宽 $B C$ ，高 $A A_{1}$ 分别为 $10 cm, 8 cm, 3 cm$ ．
（ⅰ）若用十字捆扎法（如图（3）），且长方体各面上的每一段彩带都与所在底面的相应边平行，求所需彩带的总长度；（不考虑接口处的彩带长度）
（ⅱ）若用对角捆扎法（如图（4）），且 $L A_{1} = A_{1} E = I C_{1} = C_{1} H = F B = B G = D K = D J =$ 2cm，不考虑接口处的彩带，结合（ⅰ），比较两种捆扎方法中哪一种所用彩带较短，较短的约为多少厘米？（结果保留到整数）
参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41, \sqrt{5} \approx 2.24$ ．

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2、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2, A D = 1$ ，若 $M, N$ 分别是边 $B C, C D$ 所在直线上的点，且满足 $\vec{B M} = k \vec{B C}, \vec{C N} = k \vec{C D}$ ，其中 $k \in (0, 1)$ .

(1)、当 $∠ D A B = 90^{\circ}, k = \frac{1}{3}$ 时，求向量 $\vec{A M}$ 和 $\vec{A N}$ 的夹角的余弦值；

(2)、当 $∠ D A B = 60^{\circ}$ 时，求 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的取值范围.

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3、在 $△ A B C$ 中， $sin (2 B - \frac{π}{2}) = 1$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $sin A = \frac{1}{3}$ ，求 $\cos ∠ C D B$ 的值．

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4、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $(2 c - b) cos A = a cos B$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}, sin B = \frac{3}{2} sin C$ ，求 $a$ .

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5、已知向量 $\vec{a} = (\cos x, \sin x)$ ， $\vec{b} = (3, - \sqrt{3})$ ， $x \in [0, π]$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $x$ 的值；

(2)、记 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + 1$ ，求 $f (x)$ 的最大值和最小值以及对应的 $x$ 的值.

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6、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且 $\frac{sin A}{sin C} + \frac{sin C}{sin A} - 1 = \frac{4}{a c}$ ， $b = 2$ ，则 $B =$ ．

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7、若 $φ$ 是三角形的一个内角，且函数 $y = 2 \sin (3 x + φ)$ 在区间 $[- \frac{π}{9}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增，则 $φ$ 的取值范围为.

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8、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|2 \vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}, |\vec{a} + \vec{b}| = |3 \vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $|\vec{b}| =$ ．

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9、在 $△ A B C$ 中， $|\vec{B A} + \vec{B C}| = 6$ ， $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 3$ ， $(\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot \vec{A B} = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A B = \sqrt{3}$ B、 $∠ B A C = \frac{π}{3}$ C、 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $|\vec{C A} + \vec{C B}| = 3 \sqrt{7}$

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10、信阳是中国十佳宜居城市之一，气候宜人，环境优美.如图是信阳市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数 $y = A \sin (ω x + φ) + B (0 < φ < π)$ ， $x \in R$ 的部分图象，则下列说法正确的是（）

A、该函数的最小正周期是 $16$ B、该函数的解析式是 $y = 10 \sin (\frac{π}{8} x + \frac{3 π}{4}) + 20$ ， $x \in R$ C、该函数图象的对称中心是 $(8 k - 6, 0) (k \in Z)$ D、该函数图象的对称轴是直线 $x = 8 k - 2 (k \in Z)$

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11、已知复数 $z, ω$ 均不为0，则（）

A、 $z^{2} = | z |^{2}$ B、 $z \cdot \bar{z} = | z |^{2}$ C、 $|z \cdot ω| = |z| |ω|$ D、 $|\frac{z}{ω}| = \frac{|z|}{|ω|}$

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12、若实数 $x, y$ 满足 $\frac{cos 2 y}{sin x + 3} = \frac{1}{2}$ ，则 $sin (x + y) =$ （）

A、 $\pm \frac{1}{2}$ B、 $- 1$ C、 $\pm 1$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、将函数 $f (x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x$ 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向左平移 $a (a > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则 $a$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5π}{12}$ B、 $\frac{5π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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14、如图所示为关于 $l$ 对称的两个等腰 $△ A B O$ 与 $△ A_{1} B_{1} O$ ，已知 $A B = 1, A O = B O = \sqrt{3}$ ，则该平面图形（阴影部分）绕着直线 $l (l ∥ A B)$ 旋转 $180 °$ 形成的几何体的体积为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $\frac{11 π}{12}$ D、 $\frac{11 π}{6}$

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15、用斜二测画法画水平放置的 $△ A B C$ ，其直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 如图所示，其中 $B^{'} O^{'} = C^{'} O^{'} = 1$ ，若原 $△ A B C$ 的周长为6，则 $A^{'} O^{'} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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16、函数 $y = \sin (\frac{π}{3} - \frac{1}{2} x)$ ， $x \in [- 2π,2π]$ 的单调递增区间是（）

A、 $[- \frac{π}{3}, \frac{5π}{3}]$ B、 $[- \frac{5π}{3}, \frac{π}{3}]$ C、 $[- 2 π, - \frac{π}{3}]$ 和 $[\frac{5π}{3},2π]$ D、 $[- 2 π, - \frac{5π}{3}]$ 和 $[\frac{π}{3},2π]$

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17、已知在边长为 $3$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 满足 $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B A}$ ，则 $\vec{E A} \cdot \vec{E C} =$ （）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $1$ D、 $- 1$

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18、下列说法正确的是（）

A、直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥 B、有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C、有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 D、如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥

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19、已知 $i$ 是虚数单位， $\frac{2}{1 + i} =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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20、下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$ B、在 $△ A B C$ 中，若 $A B = A C$ ， $B C = 4$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 8$ C、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则实数 $x$ 的取值范围是 $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \frac{1}{2})$ D、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，则“ $\sin A > \sin B$ ”的充要条件是“ $A > B$ ”

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