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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{3}$ ，若 $\vec{a} ⊥ (λ \vec{a} + \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $- \frac{4}{3}$ D、2

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2、如图，已知水平放置的 $△ A B C$ 的直观图中， $A^{'} C^{'} = 3$ ， $B^{'} C^{'} = 2$ ，那么 $△ A B C$ 的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3、已知复数 $z = 5 - 6 i$ ，则z在复平面内对应的点为（）

A、 $(5, 6)$ B、 $(5, - 6)$ C、 $(5, 6 i)$ D、 $(5, - 6i)$

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 3 x, x \geq 0 \\ g (x), x < 0 \end{cases}$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，则 $g (- 4) =$ .

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5、我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} e x^{2} + {(x - 1)}^{2}$ ，则下列给出的函数其图象与 $y = f (x)$ 的图象“相似”的是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = - x^{2}$ C、 $y = x^{3} - 3 x$ D、 $y = - x^{3} + 3 x$

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6、已知函数 $f (x) = sin x - ln x, f^{'} (x)$ 是其导函数.若存在 $x_{1}, x_{2} \in (0, π)$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，满足 $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2})$ ，则（）

A、 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ B、 $x_{1} x_{2} > 1$ C、 $f (x_{1}) f (x_{2}) > 1$ D、 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < 2$

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7、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 4) e^{x} - 2 x$ （e为自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots$ ）

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 1$ 时， $f (x) > 7 \ln a - a - 4$ ．

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8、已知函数 $f (x) = 2 \ln x + a x^{2} + b$ 在 $x = 1$ 处取得极值1.
（1）求 $a$ ， $b$ 的值；
（2）求 $f (x)$ 在 $[e^{- 1}, e]$ 上的最大值和最小值.

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9、混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品．现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.

(1)、一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法？

(2)、若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法？
（要求：解答过程要有必要的文字说明和步骤，结果以数字呈现）

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，且满足 $x f^{'} (x) > f (x)$ ，则不等式 $(x - 1) f (x + 1) > f (x^{2} - 1)$ 的解集是.

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11、已知曲线 $y = x e^{x}$ ，过点 $(3, 0)$ 作该曲线的两条切线，切点分别为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ .

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为4，且满足 $2 (n + 1) a_{n} - n a_{n + 1} = 0 (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 为等差数列 B、 $\{a_{n}\}$ 为递增数列 C、 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 4$ D、 $\{\frac{a_{n}}{2^{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}$

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13、用半径为1的圆形铁皮剪出一个扇形制成一个圆锥形容器，容器高为 $h$ ，当容器的容积最大时， $h =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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14、已知函数 $f (x)$ 与 $f' (x)$ 的图象如图所示，则函数 $y = \frac{f (x)}{e^{x}}$

A、在区间 $(- 1, 2)$ 上是减函数 B、在区间 $(- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 上是减函数 C、在区间 $(\frac{1}{2}, 3)$ 上减函数 D、在区间 $(- 1, 1)$ 上是减函数

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15、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{8} = 12$ ， $S_{24} = 36$ ，则 $S_{16} =$ （）

A、24 B、12 C、24或－12 D、－24或12

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16、若 $f (x) = \ln (2 - x) - x$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、0 B、2 C、－2 D、－4

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17、若 $C_{n}^{2} = 15$ ，则 $A_{n}^{2} =$ （）

A、30 B、20 C、12 D、6

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18、已知O为 $△ A B C$ 所在平面内一点，且点P满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + \frac{2}{3} (\frac{\vec{A B}}{∣ \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{∣ \vec{A C} ∣})$ ， $\vec{A P} \cdot \vec{A C} = | \vec{A C} |$ ，则 $sin ∠ B A C =$ ．

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19、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，在第一象限内的点 $A_{1} (x_{1}, y_{1})$ 和第二象限内的点 $B_{1} ({x^{'}}_{1}, {y^{'}}_{1})$ 都在抛物线C上，且直线 $A_{1} B_{1}$ 过焦点F．按照如下方式依次构造点 $A_{n} (n = 2, 3, \dots)$ ：过点 $A_{n - 1}$ 作抛物线C的切线与x轴交于点 $D_{n - 1}$ ，过点 $D_{n - 1}$ 作x轴的垂线与抛物线C相交于点 $A_{n}$ ，设点 $A_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ．用同样的方式构造点 $B_{n} (n = 2, 3, \dots)$ ，设点 $B_{n}$ 的坐标为 $({x^{'}}_{n}, {y^{'}}_{n})$ ．

(1)、证明：数列 $\{x_{n}\}, \{{x^{'}}_{n}\}$ 都是等比数列；

(2)、记 $a_{n} = \frac{n}{16} \cdot |x_{n} {x^{'}}_{n}|$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、证明：当 $n \in N^{*}$ 时，直线 $A_{1} B_{1}, A_{2} B_{2}, \dots, A_{n} B_{n}, \dots$ 都过定点．

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20、在平行四边形 $A B C D$ 中（如图1）， $A B = 2 B C = 2$ ， $M$ 为 $A B$ 的中点，将等边 $△ A D M$ 沿 $D M$ 折起，连接 $A B, A C$ ，且 $A C = 2$ （如图2）．

(1)、求证： $CM ⊥$ 平面 $A D M$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值；

(3)、点 $P$ 在线段 $A C$ 上，且满足 $\vec{A P} = 2 \vec{P C}$ ，求平面 $P D M$ 与平面 $B C D M$ 所成角的余弦值．

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