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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 为等边三角形，线段MN的中点为A，且 $A B = M N = 1$ ，则 $\vec{B M} \cdot \vec{C N}$ 的取值范围是．

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2、在锐角三角形 $A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\sin A = \frac{a}{2} \cos \frac{C}{2}$ ， $c = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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3、已知 ${\vec{e}}_{1}$ ， $\vec{e_{2}}$ 为两个不共线的向量， $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 3 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ （用 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 表示）

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4、任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即 $z = a + b i = r (\cos θ + i \sin θ)$ ， $r = | z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \geq 0$ ， $θ \in [0, 2 π)$ ．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为 $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ ， $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ ，则 $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})]$ （）

A、 $- 1 + i = \sqrt{2} (\cos \frac{3π}{4} + i \sin \frac{3π}{4})$ B、 $ω_{0}$ 是方程 $ω^{3} = 1$ 的虚数根，则 $ω_{0}^{2} = \bar{ω_{0}}$ C、 $| z | = 1$ ，则 $|z^{2} + z + 1|$ 的范围为 $[\frac{3}{4}, 3]$ D、满足 $z^{2025} = {(z + 1)}^{6} = 1$ 的复数z有且只有2个

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5、已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则下列说法正确的是（）

A、其侧面展开图为一扇形，且圆心角为 $\frac{8π}{5}$ B、该圆锥表面积为 $80π$ C、该圆锥的体积为 $128π$ D、过该圆锥顶点的截面面积的最大值为50

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6、如图，正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} D$ 和 $B C_{1}$ 异面 B、 $B B_{1}$ 和 $D D_{1}$ 共面 C、平面 $A_{1} B D //$ 平面 $C C_{1} D_{1}$ D、平面 $A_{1} B D$ 与平面 $C B_{1} D_{1}$ 相交

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7、已知正方体的棱长为1，A，B，C，D为该正方体上四个不共面的顶点，则四面体ABCD内切球的半径最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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8、已知复数 $z = 2 + i$ 是关于x的方程 $x^{2} + m x + n = 0 (m, n \in R)$ 的一个根，则 $|m + n i|$ 等于（）

A、 $\sqrt{21}$ B、 $\sqrt{41}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、5

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9、给出下列命题，正确的是（）

A、 $\vec{a} = \vec{b}$ 的充要条件是 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ 且 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则它们的起点和终点均相同 C、若存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、若 $A, B, C, D$ 是平面内的四点，且 $\vec{A B} = \vec{D C}$ ，则 $A, B, C, D$ 四点一定能构成平行四边形

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10、在三角形 $A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $(2 a - c) \cos B = a - b \cos C$ ，则三角形 $A B C$ 的形状为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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11、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{3}$ ，若 $\vec{a} ⊥ (λ \vec{a} + \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $- \frac{4}{3}$ D、2

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12、如图，已知水平放置的 $△ A B C$ 的直观图中， $A^{'} C^{'} = 3$ ， $B^{'} C^{'} = 2$ ，那么 $△ A B C$ 的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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13、已知复数 $z = 5 - 6 i$ ，则z在复平面内对应的点为（）

A、 $(5, 6)$ B、 $(5, - 6)$ C、 $(5, 6 i)$ D、 $(5, - 6i)$

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 3 x, x \geq 0 \\ g (x), x < 0 \end{cases}$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，则 $g (- 4) =$ .

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15、我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} e x^{2} + {(x - 1)}^{2}$ ，则下列给出的函数其图象与 $y = f (x)$ 的图象“相似”的是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = - x^{2}$ C、 $y = x^{3} - 3 x$ D、 $y = - x^{3} + 3 x$

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16、已知函数 $f (x) = sin x - ln x, f^{'} (x)$ 是其导函数.若存在 $x_{1}, x_{2} \in (0, π)$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，满足 $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2})$ ，则（）

A、 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ B、 $x_{1} x_{2} > 1$ C、 $f (x_{1}) f (x_{2}) > 1$ D、 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < 2$

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17、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 4) e^{x} - 2 x$ （e为自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots$ ）

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 1$ 时， $f (x) > 7 \ln a - a - 4$ ．

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18、已知函数 $f (x) = 2 \ln x + a x^{2} + b$ 在 $x = 1$ 处取得极值1.
（1）求 $a$ ， $b$ 的值；
（2）求 $f (x)$ 在 $[e^{- 1}, e]$ 上的最大值和最小值.

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19、混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品．现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.

(1)、一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法？

(2)、若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法？
（要求：解答过程要有必要的文字说明和步骤，结果以数字呈现）

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20、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，且满足 $x f^{'} (x) > f (x)$ ，则不等式 $(x - 1) f (x + 1) > f (x^{2} - 1)$ 的解集是.

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