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1、下列结论中正确的是（）

A、正四面体是四棱锥 B、棱台的侧棱长均相等 C、圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D、以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥

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2、复数 $z = (m^{2} - 2 m - 3) + (m - 3) i$ （ $m \in R$ ）表示纯虚数，则实数m的值为（）

A、 $m = - 1$ B、 $m = 1$ C、 $m = 3$ D、 $m = - 1$ 或 $m = 3$

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3、已知空间向量 $\vec{a} = (- 2, 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - \frac{1}{2}, m)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $| \vec{a} | = 9$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = \frac{5}{4}$ C、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m = 1$ D、若 $m = 1$ ，则 $\cos 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = - \frac{1}{9}$

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4、点 $(0, - 1)$ 到直线 $λ x - y + λ = 0$ （ $λ$ 为任意实数）距离的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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5、已知向量 $\overset{⃑}{m} = (2, sin α)$ ， $\overset{⃑}{n} = (cos α, - 1)$ ，其中 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $\overset{⃑}{m} ⊥ \overset{⃑}{n}$ .

(1)、求 $sin 2 α$ 和 $cos 2 α$ 的值；

(2)、若 $sin (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，求角

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6、如图，点 $P (\frac{π}{3}, 0)$ ， $Q (\frac{5 π}{6}, 0)$ ， $R (0, \sqrt{3})$ 在函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象上．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 图象上的两点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 满足 $x_{1} \in (0, \frac{π}{3})$ ， $x_{2} - x_{1} = \frac{π}{3}$ ，求四边形OMQN面积的最大值．

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7、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $(\sin A + \sin B) (\sin A - \sin B) = \sin C (\sin B + \sin C)$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 上一点，且 $A D$ 为角 $A$ 的平分线， $4 b + c = 27$ ，求 $A D$ 的最大值．

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8、如图，已知点 $P$ 在圆柱 $O O_{1}$ 的底面圆 $O$ 上， $A B$ 为圆 $O$ 的直径， $O A = 2$ ， $∠ A O P = 120^{°}$ ，三棱锥 $A_{1} - A P B$ 的体积为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求圆柱 $O O_{1}$ 的表面积；

(2)、求三棱锥 $A_{1} - A P B$ 外接球的体积.

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9、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上、下底面边长分别为1和2，且 $B B_{1}$ 与 $D D_{1}$ 所在直线互相垂直，则该棱台的体积为．

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10、设 $O$ 是原点，向量 $\vec{O A}, \vec{O B}$ 对应的复数分别为 $2 - 3 i, - 4 + i$ ，那么向量 $\vec{B A}$ 对应的复数是．

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11、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 平分 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影向量相等 D、 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$

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12、若复数 $z = \frac{3 - 5 i}{1 - i}$ ，则（）

A、 $|z| = \sqrt{17}$ B、 $z$ 的实部与虚部之差为 $5$ C、 $\bar{z} = 4 + i$ D、 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限

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13、将正弦曲线 $y = \sin x$ 向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到曲线 $C_{1}$ ，再将曲线 $C_{1}$ 上的每一点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 得到曲线 $C_{2}$ ，最后将曲线 $C_{2}$ 上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的 $C_{3}$ ，若曲线 $C_{3}$ 恰好是函数 $f (x)$ 的图象，则 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域是（）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[- 1, 2]$ C、 $[1, 2]$ D、 $[- 2, 2]$

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14、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 2), \vec{b} = (1, 1)$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(- 1, - 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(1, 1)$ D、 $(0, 1)$

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15、如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是侧面 $A A_{1} D D_{1}$ ，侧面 $C C_{1} D D_{1}$ 的中心， $G, H$ 分别是线段 $A B, B C$ 的中点，则直线 $E F$ 与直线 $G H$ 的位置关系是（）

A、相交 B、异面 C、平行 D、无法确定

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16、定义：若非零向量 $\vec{O M} = (a, b)$ ，函数 $f (x)$ 的解析式满足 $f (x) = a sin x + b cos x$ ，则称 $f (x)$ 为 $\vec{O M}$ 的伴随函数， $\vec{O M}$ 为 $f (x)$ 的伴随向量，

(1)、若向量 $\vec{O M}$ 为函数 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6}) + 4 sin (x - \frac{π}{2})$ 的伴随向量，求 $|\vec{O M}|$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M} = (\sqrt{3}, - 1)$ 的伴随函数，在 $△ A B C$ 中， $f (A) = 1$ ，且 $sin (B - C) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求证： $tan B = 3 tan C$ ．

(3)、若函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M} = (2, 1)$ 的伴随函数，关于 $x$ 的方程 $f (x) = m + 2 {cos}^{2} \frac{x}{2} - 2 \sqrt{3} |cos x|$ 在 $[0, 2 π]$ 上有且仅有四个不相等的实数根，求实数 $m$ 的取值范围．

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17、已知向量 $\vec{a} = (2 \sqrt{3}, \sin ω x)$ ， $\vec{b} = (\cos^{2} ω x, 2 \cos ω x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \sqrt{3} (ω > 0)$ ， $f (x)$ 相邻对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 单调递增区间和对称轴方程；

(3)、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得 $g (x)$ 的图象，若关于x的方程 $g (x) = m$ 在 $[- \frac{π}{12}, \frac{π}{6}]$ 上只有一个解，求实数m的取值范围．

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18、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $2 a \cos B = 2 c + b$ .
（1）求 $A$ ；
（2）若 $a = 3 \sqrt{3}, b = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19、设两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线．

(1)、若 $\overset{⃑}{A B} = \vec{a} + \vec{b}, \overset{⃑}{B C} = 2 \vec{a} + 7 \vec{b}, \overset{⃑}{C D} = \vec{a} - 4 \vec{b}$ ．求证：A、B、D三点共线；

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 和 $2 \vec{a} + k \vec{b}$ 共线，求实数k的值．

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20、为迎接大运会的到来，学校决定在半径为 $20 \sqrt{2} m$ ，圆心角为 $\frac{π}{4}$ 的扇形空地 $O P Q$ 的内部修建一平行四边形观赛场地 $A B C D$ ，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 $m^{2}$ .

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