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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $x \in R$ ， $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x + \frac{π}{3})$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到 $y = A \sin 2 x$ 的图象 C、 $f (x)$ 图象的对称轴为 $x = \frac{k}{2} π + \frac{π}{6}$ ， $k \in Z$ D、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $- \sqrt{3}$

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2、设 $λ$ 为实数，已知向量 $\vec{m} = (2, 1 - λ)$ ， $\vec{n} = (2, 1)$ .若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则向量 $\vec{m} - \vec{n}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角的正弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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3、已知在正六边形 $A B C D E F$ 中，G是线段 $C D$ 上靠近D的三等分点，则 $\vec{G A} =$ （）

A、 $\frac{8}{3} \vec{B A} - \frac{4}{3} \vec{C E}$ B、 $\frac{10}{3} \vec{B A} - \frac{4}{3} \vec{C E}$ C、 $\frac{11}{3} \vec{B A} - \frac{5}{3} \vec{C E}$ D、 $- \frac{11}{3} \vec{B A} + \frac{5}{3} \vec{C E}$

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4、已知 $3 \sin (2 α + \frac{3 π}{2}) = 7 \cos α$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{7}{9}$

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5、 $\cos 70 ° \sin 40 ° - \sin 110 ° \sin 50 °$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6、设函数 $f (x) = x - x^{3} e^{a x + b}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - x + 1$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = f^{'} (x)$ ，求 $g (x)$ 的单调区间；

(3)、求 $f (x)$ 的极值点个数．

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7、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n}^{2} + 2 a_{n} = 4 S_{n} - 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{3^{n - 1} a_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $B_{n}$ ；

(3)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} + 1}{S_{2 n - 1} \cdot S_{2 n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 是正方形， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P C = B C = 1$ ， $E$ 是棱 $P B$ 上动点.

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ .

(2)、线段 $P B$ 上是否存在点 $E$ ，使二面角 $P - A C - E$ 的余弦值是 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ？若存在，求 $\frac{P E}{P B}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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9、设 $a \in R$ ，若函数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{a}{2} x^{2} + x + 2$ 在 $(1, 2)$ 内存在极值点，则 $a$ 的取值范围是.

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10、如图，对 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 五块区域涂色，现有 $5$ 种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有种.

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11、“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为 $a_{n}$ ，如 $a_{1} = 1 + 1 = 2, a_{2} = 1 + 2 + 1 = 4, \cdot \cdot \cdot, \{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为 $\{b_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $S_{10} = 1022$ B、 $\{\frac{2 a_{n}}{S_{n} \cdot S_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $\frac{1}{2} - \frac{1}{a_{n + 2} - 2}$ C、 $b_{57} = 66$ D、 $T_{57} = 4150$

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12、甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）

A、如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 B、如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 C、如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 D、如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种

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13、已知 $f (x) + f (1 - x) = 2, a_{n} = f (0) + f (\frac{1}{n}) + \dots + f (\frac{n - 1}{n}) + f (1), (n \in N^{*})$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为（）

A、 $a_{n} = n - 1$ B、 $a_{n} = n$ C、 $a_{n} = n + 1$ D、 $a_{n} = n^{2}$

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14、将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（）

A、120 B、300 C、180 D、150

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15、某跳水运动员在距离地面3m高的跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度 $h$ （单位： $m$ ）与起跳后的时间 $t$ （单位： $s$ ）的函数关系是 $h (t) = - 5 t^{2} + 2 t + 4$ ，则该运动员在 $t = 0.5 s$ 时的瞬时速度为（）

A、 $- 0.50 m / s$ B、 $0.50 m / s$ C、 $3 m / s$ D、 $- 3 m / s$

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $sin A (sin A - sin C) = {sin}^{2} (A + C) - {sin}^{2} C$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $P$ 为边 $A C$ 上一点（异于端点）， $∠ B P C = 2 ∠ A$ ，求 $\frac{|A P|}{|P C|}$ 的取值范围.

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17、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于两个不同的点 $A, B$ ，且 $F$ 为线段 $A B$ 的一个三等分点，则 $k^{2} =$ （）

A、4 B、8 C、12 D、16

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18、已知函数 $y = f (x)$ ， $x \in D$ ，设曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线方程为 $y = k x + m$ . 如果对任意的 $x \in D$ ，均有：
①当 $x < x_{0}$ 时， $f (x) < k x + m$ ；
②当 $x = x_{0}$ 时， $f (x) = k x + m$ ；
③当 $x > x_{0}$ 时， $f (x) > k x + m$ ，
则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的一个“ʃ-点”.
（1）判断 $0$ 是否是下列函数的“ʃ-点”：
① $f (x) = x^{3}$ ； ② $f (x) = \sin x$ .（只需写出结论）
（2）设函数 $f (x) = a x^{2} + \ln x$ .
（ⅰ）若 $a = \frac{1}{2}$ ，证明： $1$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个“ʃ-点”；
（ⅱ）若函数 $y = f (x)$ 存在“ʃ-点”，直接写出 $a$ 的取值范围.

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19、质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取 $100$ 桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：

(1)、写出频率分布直方图（甲）中 $a$ 的值；记甲、乙两种食用油 $100$ 桶样本的质量指标的方差分别为 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ，试比较 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ 的大小（只要求写出答案）；

(2)、估计在甲、乙两种食用油中随机抽取 $1$ 桶，恰有一桶的质量指标大于 $20$ 的概率；

(3)、由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值 $Z$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ．其中 $μ$ 近似为样本平均数 $x$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s_{2}^{2}$ ，设 $X$ 表示从乙种食用油中随机抽取 $10$ 桶，其质量指标值位于 $(14.55, 38.45)$ 的桶数，求 $X$ 的数学期望．
注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得 $s_{2} = \sqrt{142.75} \approx 11.95$
②若 $Z \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.9544$ ．

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20、某市从2015年起每年6月都举办一届民俗文化周，到2020年已举办了六届，据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，吸引了不少外地游客，极大地推进了该市的旅游业发展，现将前五届民俗文化周期间外地游客的人数统计如下表：
年份
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
民俗文化周届数编号 $X$
1
2
3
4
5
外地游客人数 $Y$ （单位：十万）
0.6
0.8
0.9
1.2
1.5

(1)、求 $Y$ 关于 $X$ 的线性回归方程 $\hat{Y} = \hat{b} X + a$ ；

(2)、据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入为多少万元.
参考公式： $\begin{array}{l} \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \end{array}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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年份	2015年	2016年	2017年	2018年	2019年
民俗文化周届数编号 $X$	1	2	3	4	5
外地游客人数 $Y$ （单位：十万）	0.6	0.8	0.9	1.2	1.5