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相关试卷

1、某校为丰富学生的校园生活决定开展兴趣课，兴趣课包括音乐课，舞蹈课，影视鉴赏课、篮球课、围棋课等十余种．兴趣课共开展3个月，每种课每月4节且必须上满，每节课可得1分且表现优秀可额外获得1分，若本月不少于6分，下月可以选择继续上此课或者选择其他的兴趣课，6分以下则只能上原来的课．现有甲、乙两人是好朋友，在第一个月他们一起选择了音乐课，音乐课上甲每节课表现优秀的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙每节课表现优秀的概率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求甲第一个月得分的分布列及数学期望；

(2)、求第二个月甲乙两人可以一起选择其他兴趣课的概率；

(3)、若乙每种课的表现优秀率一致，在三个月后乙一共获得21分的情况下，求他在第二个月获得8分的概率．

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2、已知函数 $f (x) = a \ln x - \frac{2}{x}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同．

(1)、求该考生恰好选到2所985高校的概率；

(2)、若该考生选到985高校的数量为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

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4、已知 ${(x + a)}^{n} (n \in N^{*}, a > 0)$ 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为729．

(1)、求 $n$ 和 $a$ 的值；

(2)、求展开式中系数最大的项．

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5、已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x$ ， $g (x) = x - 2 ln x$ ，对于任意的 $t > 2$ ，存在 $x_{1} > 1$ ， $x_{2} > 1$ 使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t$ 成立，则 $\frac{ln t}{x_{2} - 2 x_{1}}$ 的最大值为．

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6、已知随机变量 $ξ \sim N (1, 2)$ ，则 $E (ξ) =$ ．

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7、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} (a x - 1)}{x - 1} (a \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a = 0$ ，则 $f (x)$ 有极大值，无极小值 B、若 $a = \frac{1}{2}$ ，则 $f (x)$ 有四个单调区间 C、若 $a = 1$ ，且 $g (x) = f (x) - m x + 1$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 2 + \frac{2}{m}$ 成立 D、若 $a = 2$ ，则对任意 $x_{1}, x_{2} \in (\frac{3}{2}, + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 成立

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8、有大小、形状、质地完全相同的白色、黄色、蓝色小球各3个，红色小球1个，并且将这个红色小球命名为“幸运A9球”，现将这10个小球装在一个盒子里，依次任取3个小球，则下列说法正确的是（）

A、“幸运A9球”被选中的概率为 $\frac{3}{10}$ B、每次取后再放回，则第3次才取到“幸运A9球”的概率 $\frac{81}{1000}$ C、每次取后不放回，则第3次取到“幸运A9球”的概率最大 D、记事件 $A$ 为“幸运A9球”被选中，事件 $B$ 为“取得的3个小球不同色”，则 $P (A |B) = \frac{1}{2}$

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9、已知随机变量 $X \sim B (6, \frac{1}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P (X = 2) = P (X = 4)$ B、 $E (3 X + 2) = 8$ C、 $D (X) = \frac{4}{3}$ D、 $D (3 X + 2) = 6$

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10、已知函数 $f (x) = (2 x - a) {(x - 2 a)}^{2} - a^{2}$ 有两个零点，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、3

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11、已知正四面体 $A B C D$ 的顶点 $A$ 处有一质点 $P$ ，点 $P$ 每次随机沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，则点 $P$ 经过4次移动后仍回到顶点 $A$ 处的概率为（）

A、 $\frac{11}{81}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{7}{27}$ D、 $\frac{1}{3}$

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12、 ${(x^{2} - x + y)}^{6}$ 的展开式中 $x^{5} y^{3}$ 的系数为（）

A、60 B、20 C、-20 D、-60

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13、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 2 b = a b$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、12 B、9 C、8 D、6

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14、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - x f^{'} (1)$ ，则 $f^{'} (1)$ 的值为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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15、关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- 1, 3)$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、 $a b > 0$ C、 $b c < 0$ D、 $a b c < 0$

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16、下列结论正确的是（）

A、 ${(ln 2)}^{'} = \frac{1}{2}$ B、 ${(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{'} = \frac{- 1}{2 x \sqrt{x}}$ C、 ${(cos x)}^{'} = sin x$ D、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$

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17、已知集合 $M = {x ∣ - 2 < x < 2}$ ， $N = {x ∣ |x - 1| < 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 < x < 3}$ B、 ${x ∣ - 2 < x \leq 1}$ C、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ D、 ${x ∣ - 2 < x < 2}$

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18、近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过40％的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天间的数据，列表如下：
x
1
2
3
4
5
y
75
84
93
98
100

(1)、由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系？若可用，求出y关于x的经验回归方程，并估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数 $|r| > 0.75$ ，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，r精确到0.01）；

(2)、该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考数据： $\sqrt{4340} \approx 65.88$ ． $\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 10$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 434$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 64$
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

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19、已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{b}{x} - x$ .

(1)、设 $a = 1, b = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为2的切线方程；

(2)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点，求b的取值范围.

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20、为考察某种药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
100
80
$s$
服用
150
70
220
合计
250
$t$
400

(1)、求s，t；

(2)、记未服用药物 $A$ 的动物患疾病 $B$ 的概率为 $P$ ，给出 $P$ 的估计值；

(3)、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 有效?
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (χ^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828

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药物	疾病		合计
药物	未患病	患病	合计
未服用	100	80	$s$
服用	150	70	220
合计	250	$t$	400

$P (χ^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828