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相关试卷

1、有 $3$ 件商品的编号分别为 $i (i = 1, 2, 3)$ ，它们的售价（元） $S (i) \in \{5, 7, 8, 10, 11, 20\}$ ，且满足 $S (1) \leq S (2) \leq S (3)$ ，则这 $3$ 件商品售价的所有可能情况有种.

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2、已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $∠ B A C = \frac{2}{3} π$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $S_{△ A C D} = 2 S_{△ A B D}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ 的值为.

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3、已知圆柱的底面积为 $9 π$ ，侧面积为 $18 π$ ，则该圆柱的体积为.

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4、已知函数 $y = a^{x + 1} - \log_{a} (x + 2) + 1_{} (a > 0$ 且 $a \neq 1$ )的图像经过定点 $A$ ，则点 $A$ 的坐标为

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5、 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 的二项展开式中， $x^{2}$ 项的系数为.

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6、若函数 $f (x) = (m - 1) x^{2} + 3 x + (2 - n)$ 是奇函数，则 $m + n$ =

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 ， x < 1, \\ f (x - 2) ， x \geq 1. \end{array}$ 则 $f (4)$ =.

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8、已知集合 $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{2, 4\}$ ，则 $A \cup B =$ .

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9、 $i$ 是虚数单位，则 $|1 + i| =$ ．

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10、如图，等腰直角三角形 $A C B$ 所在平面与半圆弧 $\overset{⏜}{A B}$ 所在平面垂直，且 $A C = B C$ ， M是 $\overset{⏜}{A B}$ 上异于A、B的点，N是 $A M$ 的中点．

(1)、证明： $A M ⊥$ 平面 $O C N$ ；

(2)、若三棱锥 $M - A B C$ 体积最大为 $\frac{1}{3}$ ，设 $∠ M A B = α$ ，
（ⅰ）求体积最大时α的值及此时二面角 $C - A M - B$ 的余弦值；
（ⅱ）当M在弧 $\overset{⏜}{A B}$ 上运动时（不与A、B重合），证明：点O到平面 $B C M$ 的距离 $d = \frac{\cos α}{\sqrt{1 + \cos^{2} α}}$ ．

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11、在学习了解三角形后，小万和小千尝试探究下面的问题：如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $S_{△ A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{8}$ ， $D$ 在边 $A C$ 上，且 $A D : C D = 2 : 1$ ，连接 $B D$ ，请完成下述两个问题，并且写出解答过程．

(1)、小万说：我能求出 $A C$ 边的最短长度；

(2)、小千说：我能求出 $B D$ 边的最短长度；

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12、如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $2 A D = 2 D C = 2 C B = A B = 2$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 在线段 $C D$ 上（含边界）， $B F$ 和 $C E$ 相交于点 $M$ ，令 $\vec{A E} = \vec{a}$ 、 $\vec{A D} = \vec{b}$ ，

(1)、若 $F$ 是 $C D$ 的中点，用 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 表示 $\vec{B F}$ ；

(2)、若 $\vec{D F} = λ \vec{D C}$ ，求 $\vec{A M}$ 并求 $|\vec{A M}|$ 的取值范围．

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13、四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 $3$ 的正方形， $M$ 是 $P D$ 的中点，

(1)、证明： $P B //$ 平面 $M A C$ ；

(2)、若 $M$ 在底面 $A B C D$ 上的投影为底面中心，求直线 $B P$ 到平面 $M A C$ 的距离．

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14、已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 满足以下条件： $\{\begin{array}{l} 2 \vec{a} + \vec{b} = (4, - 1) \\ \vec{a} - 2 \vec{b} = (- 3, - 8) \end{array}$

(1)、求 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ；

(2)、若 $\vec{c} = (m - 1, 2 m)$ 且 $\vec{c} // (\vec{a} + \vec{b})$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、若 $\vec{d} = (x, y)$ 且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{d})$ ， $|\vec{d}| = 5$ ，求 $\vec{d}$ ．

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15、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{a} + 2 \vec{b} + 3 \vec{c} = \vec{0}$ ， $\cos ⟨\vec{c}, \vec{a} - 2 \vec{b}⟩ = \frac{1}{2}$ ，若 $λ \in R$ 时， $|\frac{λ}{2} \vec{a} + (1 - λ) \vec{b}|$ 的最小值为1，则 $|\vec{b}| =$ ．

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16、已知高为1的正四棱柱的顶点都在表面积为 $9 π$ 的球面上，则该正四棱柱的表面积为．

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17、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，若 $A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 1$ ， $A^{'} B^{'} // x^{'}$ 轴， $A^{'} C^{'} // y^{'}$ 轴，则 $△ A B C$ 的面积为．

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18、我们称底面直径与高相等的圆柱为等边圆柱，如图，在等边圆柱内有一个正三棱锥，正三棱锥的底面 $△ A B C$ 在圆柱底面圆周上，顶点P是圆柱的上底面中心，M是底面三角形边 $A C$ 的中点，连接 $B M$ ， $D E$ 是上底面的一条直径且 $D E$ 不平行于 $B M$ ，若圆柱的高为4，则下列说法中，正确的是（）

A、 $△ P A C$ 中 $P M$ 的长为 $2 \sqrt{5}$ B、圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为 $4 \sqrt{2} : 3$ C、四面体 $B D E M$ 的体积最大值为8 D、半平面 $E B M$ 与半平面 $P B M$ 所成二面角的余弦值的取值范围是 $[\frac{2 \sqrt{5}}{5}, 1)$

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19、根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（）

A、 $b = 8$ ， $c = 4$ ， $C = \frac{5 π}{6}$ B、 $b = 5$ ， $c = 7$ ， $C = \frac{π}{3}$ C、 $a = 10$ ， $b = 5 \sqrt{3}$ ， $B = \frac{π}{3}$ D、 $a = 20$ ， $b = 15$ ， $B = \frac{π}{6}$

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20、若 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}\}$ 是一组基底，则下列各组向量中，可以作为基底的有（）

A、 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}\}$ B、 $\{\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}, \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}\}$ C、 $\{\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}, \vec{e_{2}} - \vec{e_{1}}\}$ D、 $\{\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}, - 4 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}\}$

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