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相关试卷

1、已知 $A$ ， $B$ 是上半圆 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ 上的两点（不包括端点） $(x_{A} < 0, x_{B} > 0)$ ，那么 $f^{'} (x_{A})$ 与 $f^{'} (x_{B})$ 的大小关系为（）

A、 $f^{'} (x_{A}) > f^{'} (x_{B})$ B、 $f^{'} (x_{A}) = f^{'} (x_{B})$ C、 $f^{'} (x_{A}) < f^{'} (x_{B})$ D、不能确定

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2、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $D_{1} D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D_{1} D = 2$ ， $A B = 4$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ．

(1)、求证： $A_{1} A //$ 平面 $C_{1} B D$ ；

(2)、求直线 $A_{1} A$ 到平面 $C_{1} B D$ 的距离；

(3)、若点P是平面 $A B C D$ 内的动点，且满足 $B D ⊥ B_{1} P$ ，设直线 $D_{1} P$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $θ$ ，求 $\tan θ$ 的最大值．

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3、锐角 $△ A B C$ 的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\cos B = \frac{c - a}{2 a}$ ．

(1)、求证： $B = 2 A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求边c的取值范围．

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4、如图，梯形 $B C D P$ 中， $B C // P D$ ， $B A ⊥ P D$ 于点 $A$ ， $P A = \sqrt{2}$ ，且 $A B = B C = 1 = \frac{1}{2} A D$ ．沿 $A B$ 把 $△ P A B$ 折起到 $△ P^{'} A B$ 的位置，使 $P^{'} D = \sqrt{6}$ ．

(1)、求异面直线 $C D$ 与 $P^{'} B$ 所成角的余弦值；

(2)、若 $E$ 为 $P^{'} C$ 的中点， $F$ 为 $P^{'} D$ 上一点，证明 $C F ⊥ A E$ ．

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5、在 $△ A B C$ 中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a \sin A + c \sin C - b \sin B = c \sin A$ ．

(1)、求B的值；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $12 π$ ，且 $a + c = 12$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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6、在 $△ A B C$ 中， $| \vec{O A} | = 4$ ， $| \vec{O B} | = 3$ ，且 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为60°．且 $\vec{A P} = t \vec{A B}$ ．

(1)、若 $t = \frac{1}{3}$ ，用基向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 表示 $\vec{O P}$ ，并求 $| \vec{O P} |$ ；

(2)、若 $\vec{O P} ⊥ \vec{A B}$ ，求实数 $t$ 的值．

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7、已知复数 $z$ 满足： $| z | = 9 + 3 i + \bar{z}$

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、求 $\frac{1}{4 + 3 i} + \frac{{(1 + i)}^{2}}{2 z}$ 的值．

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8、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若 $B_{1} P //$ 平面 $A_{1} B M$ ，则P的轨迹长为．

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9、 $△ A B C$ 的三个内角 $A 、 B 、 C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 5 : 6 : 7$ ，则最小角的余弦值为．

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10、在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P是平面 $A_{1} B C_{1}$ 内的一个动点，若 $B_{1} P = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、点P的轨迹长度为 $2 π$ B、直线 $B_{1} P$ 不可能与 $A_{1} B$ 垂直 C、直线 $B_{1} P$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ D、三棱锥 $P - B B_{1} C_{1}$ 的体积最大值为 $\frac{3 + \sqrt{6}}{2}$

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11、在 $△ A B C$ 中，设 $a = 6$ ， $c = 5$ ， $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 18$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的面积为12 B、 $△ A B C$ 外接圆的周长是 $\frac{25}{4} π$ C、若 $D$ 为 $A C$ 的中点，则中线 $B D$ 长度为 $\frac{\sqrt{97}}{2}$ D、 $△ A B C$ 内切圆的面积是 $\frac{5}{2} π$

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12、设向量 $\vec{a} = (k, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ ，则下列叙述正确的是（）

A、若 $k = - \frac{1}{2}$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) // \vec{a}$ B、与 $\vec{b}$ 垂直的单位向量只能为 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ ， C、若 $k = 1$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ D、若 $k = 1$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{5} \vec{b}$

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13、下列有关复数 $z$ 的叙述正确的是（）

A、 $z \cdot \bar{z} = | z |^{2}$ B、若 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z$ 的虚部为 $- i$ C、若 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z^{2023}$ 为纯虚数 D、若 $1 - 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ （p， $q \in R$ ）的一个根，则 $q = - 5$

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14、如图，P为平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为PC上一点，当 $P A //$ 平面 $E B F$ 时， $\frac{P F}{P C} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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15、为测量某建筑物的总高度CD，选取与塔底C在同一水平面内的两个测量基点A与B，某人在C的正西方向点A处测得塔顶的仰角为60°，C在B的西偏北75°方向，A在B的西偏北30°方向， $A B = 32 m$ ，则这幢建筑物的总高度为（）

A、 $(96 - 32 \sqrt{3}) m$ B、 $(96 - 32 \sqrt{6}) m$ C、 $(92 - 32 \sqrt{3}) m$ D、 $(92 - 32 \sqrt{2}) m$

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16、如图，矩形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形 $O A B C$ 的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = 3$ ， $O^{'} C^{'} = 1$ ．则平面四边形 $O A B C$ 的周长为（）

A、14 B、12 C、10 D、8

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17、符合下列条件的三角形有2个解的是（）

A、 $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ， $c = 5$ B、 $a = 2 \sqrt{2}$ ， $b = 6$ ， $A = \frac{π}{6}$ C、 $a = 2$ ， $c = 3$ ， $A = \frac{π}{6}$ D、 $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ， $B = \frac{π}{6}$

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18、已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）

A、若 $m // n$ ， $n \subset α$ ，则 $m // α$ B、若 $m // α$ ， $m // β$ ，则 $α // β$ C、若 $m ⊥ n$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ α$ D、若 $m \subset α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$

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19、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在对角线 $A C$ 上，点 $F$ 在边 $C D$ 上，且满足 $\overset{⃑}{A E} = \frac{1}{4} \overset{⃑}{A C}$ ， $\overset{⃑}{C F} = \frac{2}{3} \overset{⃑}{C D}$ ，则 $\overset{⃑}{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{12} \overset{⃑}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⃑}{B C}$ B、 $- \frac{1}{12} \overset{⃑}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⃑}{B C}$ C、 $\frac{1}{12} \overset{⃑}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⃑}{B C}$ D、 $- \frac{1}{12} \overset{⃑}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⃑}{B C}$

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20、已知复数 $z$ 满足 $i z = 1 - 3 i$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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