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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求C的方程；

(2)、若直线 $l : y = x + t$ 与C交于 $M, N$ 两点，O为坐标原点， $△ O M N$ 的面积为 $\frac{4}{3}$ ，求t的值.

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2、角 $α$ 的终边过点 $(2, 1)$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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3、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是C上任意一点，则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为12 C、 $|P F_{1}|$ 的最小值为3 D、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最大值为16

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4、直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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5、函数 $f (x) = x^{2} + a x + 3$ ．
（1）当 $x \in R$ 时， $f (x) \geq a$ 恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当 $x \in [- 2, 2]$ 时， $f (x) \geq a$ 恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当 $a \in [4, 6]$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数x的取值范围．

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6、已知集合 $S = \{x |1 < x \leq 7\}$ ， $A = \{x |2 \leq x < 5\}$ ， $B = \{x |3 \leq x < 7\}$ ，求

(1)、 $(∁_{S} A) \cap B$

(2)、 $(∁_{S} A) \cup (∁_{S} B)$

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7、在平面直角坐标系xOy中，四边形 $O P Q R$ 的顶点坐标分别为 $O (0, 0)$ 、 $P (1, t)$ 、 $Q (1 - 2 t, 2 + t)$ 、 $R (- 2 t, 2)$ ，其中 $t > 0$ ．试判断四边形 $O P Q R$ 的形状．

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8、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ .点 $P$ 在线段 $A C_{1}$ 上，点 $P$ 到直线 $B B_{1}$ 的距离的最小值为.

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9、【多选】以 $A (- 1, 1), B (2, - 1), C (1, 4)$ 为顶点的三角形，下列结论正确的有（）

A、 $k_{A B} = - \frac{2}{3}$ B、 $k_{B C} = - \frac{1}{4}$ C、以A点为直角顶点的直角三角形 D、以 $B$ 点为直角顶点的直角三角形

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10、若平面 $α$ 的法向量为 $\vec{u} = (- 1, 2, 4)$ ，平面 $β$ 的法向量为 $\vec{v} = (m, - 1, - 2)$ ，直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{t} = (n, - 2, - 4)$ ，则（）

A、若 $α / / β$ ，则 $m = 1$ B、若 $l ⊥ α$ ，则 $n = 2$ C、若 $n = - 20$ ，则 $l / / α$ D、若 $m = - 10$ ，则 $α ⊥ β$

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11、如图，在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ .点 $M$ 在 $O B$ 上，且 $O M = \frac{1}{2} M B$ ，点 $N$ 是 $A C$ 的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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12、若 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}\}$ 是空间的一个基底，且向量 $\{\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}, \vec{e_{2}} + \vec{e_{3}}, 3 \vec{e_{1}} + t \vec{e_{3}}\}$ 不能构成空间的一个基底，则 $t =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、0

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13、已知空间向量 $\vec{a} = (4, - 3, 2)$ 与 $\vec{b} = (2, x, y)$ 共线，则 $x + y =$ （）

A、-1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、1

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14、已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F (0, 1)$ ，过点 $P (- 2, 2)$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A ， B$ 两点．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、当点 $P$ 为弦 $A B$ 的中点时，求直线 $A B$ 的方程；

(3)、求 $|A F| \cdot |B F|$ 的最小值．

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15、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{3} = a_{5} = 9$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比大于1的等比数列，且 $b_{3}^{2} = b_{6}$ ， $b_{4} - b_{2} = 12$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b^{2} + a c = a^{2} + c^{2}$ ， $\sin A = 2 \sin C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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17、某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下 $2 \times 2$ 列联表：
单位：人
满意程度
性别
合计
男生
女生
满意
120
不满意
150
合计
200
请补全上面的 $2 \times 2$ 列联表，依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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18、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a b}$ 的最小值是.

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19、 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}}$ ，若 $f (m) = n$ ，则 $f (- m) =$ .

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20、“ $a > \frac{1}{2}$ ”是“ $\frac{1}{a} < 2$ ”的条件.

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满意程度	性别		合计
满意程度	男生	女生	合计
满意	120
不满意			150
合计	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828