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相关试卷

1、以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取3道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4道题.

(1)、设 $X$ 表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量 $X$ 的分布列和方差；

(2)、假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为 $\frac{1}{2}$ .若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率.

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2、为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据如下表：
编号
1
2
3
4
5
x
10
20
30
40
50
y
70
80
100
120
130

(1)、若该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求y关于x的回归直线方程．（参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 16600$ ）

(2)、基于上述调查，某校提倡学生课后自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了160位学生．按照参与课后自主学习与成绩进步情况得到如下2×2列联表：

成绩没有进步
成绩有进步
合计
参与课后自主学习
5
135
140
未参与课后自主学习
5
15
20
合计
10
150
160
依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析“课后自主学习与成绩进步”是否有关．
附：回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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3、在 $△ A B C$ 中，若 $\sin B = \sin A \sin C$ ，则 $\tan B$ 的最大值为.

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4、甲、乙、丙、丁、戊五人完成A，B，C，D，E五项任务所获得的效益如下表：现每项任务选派一人完成，其中甲不承担C任务，丁不承担A任务的指派方法数有种；效益之和的最大值是.
A
B
C
D
E
甲
11
13
10
13
11
乙
25
26
24
23
23
丙
10
14
15
13
11
丁
7
9
11
9
11
戊
14
16
15
16
12

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5、已知随机变量 $X ~ B (3, \frac{1}{4})$ ，则 $D (X) =$ .

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6、已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 a x^{2} + a^{2} x + 1$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，则下列结论正确的是（）

A、 $a = 1$ 或 $a = 3$ B、函数 $f (x)$ 有且仅有一个零点 C、函数 $f (x)$ 恰有两个极值点 D、函数 $f (x)$ 在 $(0, \frac{6}{5})$ 有最小值，无最大值

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7、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{1} = 2$ ， $q = 3$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 是等比数列 B、数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 和是 $3 - \frac{1}{3^{n - 1}}$ C、数列 $\{{log}_{2} a_{n}\}$ 是等差数列 D、数列 $\{{log}_{2} a_{n}\}$ 的前10项和是 $45 {log}_{2} 3$

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 8, S_{8} = 40$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、52 B、96 C、106 D、12

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9、“ $a = - 1$ ”是“函数 $y = a x^{2} + 2 x - 1$ 只有一个零点”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、以下四个命题中，其中真命题为（）

A、在回归分析中，可用相关指数 $R^{2}$ 的值判断模型的拟合效果， $R^{2}$ 越大，模型的拟合效果越好； B、两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的越大； C、若数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的方差为1，则 $\frac{1}{2} x_{1}$ ， $\frac{1}{2} x_{2}$ ， …， $\frac{1}{2} x_{n}$ 的方差为 $\frac{1}{2}$ ； D、对分类变量 $x$ 与 $y$ 的随机变量 $K^{2}$ 的观测值 $k$ 来说， $k$ 越小，判断“ $x$ 与 $y$ 有关系”的把握程度越大．

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11、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{2} + a_{8} = 10$ ， $a_{4} = 4$ ，则公差 $d =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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12、已知函数 $f (x) = 3 f^{'} (1) x - x^{2} + \ln x + \frac{1}{2}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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13、若随机变量 $X ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X > 3) = 0.3$ ，则 $P (1 < X < 3) =$ （）

A、0.4 B、0.5 C、0.6 D、0.7

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14、在锐角 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 是角 $A, B, C$ 的对边，若满足 $\sqrt{3} c = b \sin A + \sqrt{3} b \cos A$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $\sin A + \sin C$ 取值范围；

(3)、当 $\sin A + \sin C$ 取得最大值时，在 $△ A B C$ 所在平面内取一点 $D$ （ $D$ 与 $B$ 在 $A C$ 两侧），使得线段 $D C = 2, D A = 1$ ，求 $△ B C D$ 面积的最大值．

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15、函数 $f (x) = 4 \sin x \cos x - 4 \cos^{2} x + 2$ ，

(1)、把 $f (x)$ 的单调减区间

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值及取最值时相应x的值

(3)、把 $y = f (x)$ 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数 $y = g (x)$ 的图象，再把函数 $y = g (x)$ 图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $y = h (x)$ 的图象，若函数 $y = h (x) - \sqrt{2}$ 在区间 $[0, m]$ 上至少有20个零点，求m的最小值．

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16、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0)$ 的部分图象如图所示，则 $f (\frac{2025 π}{2}) =$

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17、已知 $\tan α = 2$ ，则 $\sin^{2} α - 3 \sin α \cos α =$

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18、已知向量 $\vec{a} = (2, m), \vec{b} = (- 1, m)$ ，若 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则正数m的值为．

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19、已知函数 $f (x) = sin 2 x$ 和 $g (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的最小正周期相同 B、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 上的单调性相同 C、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象 D、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称

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20、设向量 $\vec{a} = (2, 0), \vec{b} = (1, 1)$ ，则（）

A、 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是 $\frac{π}{4}$ C、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ D、向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $\vec{a}$

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	成绩没有进步	成绩有进步	合计
参与课后自主学习	5	135	140
未参与课后自主学习	5	15	20
合计	10	150	160

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

	A	B	C	D	E
甲	11	13	10	13	11
乙	25	26	24	23	23
丙	10	14	15	13	11
丁	7	9	11	9	11
戊	14	16	15	16	12

编号	1	2	3	4	5
x	10	20	30	40	50
y	70	80	100	120	130

	A	B	C	D	E
甲	11	13	10	13	11
乙	25	26	24	23	23
丙	10	14	15	13	11
丁	7	9	11	9	11
戊	14	16	15	16	12

	A	B	C	D	E
甲	11	13	10	13	11
乙	25	26	24	23	23
丙	10	14	15	13	11
丁	7	9	11	9	11
戊	14	16	15	16	12