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相关试卷

1、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 0, 2)$ .

(1)、若 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 共线，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 所成角是锐角，求实数 $k$ 的范围．

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2、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = \sqrt{17}, B C = 3, P$ 为平面 $A B C$ 内一点，则 $\vec{P C} \cdot (\vec{P A} + \vec{P B})$ 的最小值是.

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3、将函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图像向左平移 $θ (θ > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图像，下列说法正确的是（）

A、当 $θ = \frac{5 π}{6}$ 时， $g (x)$ 为偶函数 B、当 $θ = \frac{π}{6}$ 时， $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、当 $θ = \frac{π}{4}$ 时， $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 上的值域为 $[0, \sqrt{3}]$ D、当 $θ = \frac{π}{4}$ 时，函数 $y = g (x) - \frac{9}{5}$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 上有2个零点

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4、函数 $f (2 x)$ 的定义域为 $[0, 1)$ ，则 $f (1 - 3 x)$ 的定义域是（）

A、 $(- 2, 1]$ B、 $(- \frac{1}{2}, 1]$ C、 $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ D、 $(- 2, 4]$

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5、已知函数 $f (x) = (x + k) ln x$ ， $g (x) = x + a sin x + b ln x$ ．

(1)、若 $k = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x > 1$ 时， $f (x) > 2 (x - 1)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、设 $0 < a < 1$ ， $b < 0$ ，若存在 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，使得 $g (x_{1}) = g (x_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ ．证明： $\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} > \frac{2 \sqrt{- b}}{\sqrt{a} + 1}$ ．

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6、记等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）令 $b_{n} = a_{n} \log_{3} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ A D C$ 与 $△ B A C$ 均为等腰直角三角形， $∠ A D C = 90 ° ， ∠ B A C = 90 °$ ， E为BC的中点．

(1)、若 $F, G$ 分别为 $P D, P E$ 的中点，求证： $F G / /$ 平面PAB；

(2)、若 $P A ⊥$ 平面ABCD， $P A = A C$ ，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．

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8、已知随机变量X服从正态分布，即： $X ~ N (2, σ^{2})$ ，若 $P (X \geq - 1) = 0.8$ ， $P (2 \leq X \leq m) = 0.3$ ，则实数 $m =$ ．

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9、如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 $\cdot$ 商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有 $a_{n}$ 个球，从上往下n层球的总数为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $S_{4} = 20$ B、 $a_{n + 1} - a_{n} = n$ C、 $a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ D、 $a_{n} \geq l n (n$ ! $) + n$

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10、已知实数 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ ，将这7个数适当排列成一列数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{7}$ ，满足 $a_{1} < a_{2} < a_{3} > a_{4} > a_{5} < a_{6} < a_{7}$ ，则满足要求的排列的个数为（）

A、58 B、71 C、85 D、96

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11、已知公比为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 1$ ， $S_{4} = 5$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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12、已知 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m / / n$ ， $m / / α$ ，则 $n / / α$ B、若 $m / / n$ ， $α / / β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ β$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$ D、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$

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13、已知 $\{a_{n}\}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{1} = - 2$ ，若 $a_{3}, a_{4}, a_{6}$ 成等比数列，则 $a_{10} =$ （）

A、 $- 20$ B、 $- 18$ C、16 D、18

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14、若给定数列 $\{a_{n}\}$ ，对于任意的 $n \in N^{*}$ ，若满足 $a_{n + 1} - a_{n} = q^{n}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“ $D (h)$ 型数列”．若数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ，当 $n \geq 2$ 时， $a_{n + 1} - 3 a_{n} + 2 a_{n - 1} = 0$ ．

(1)、判断数列 $\{a_{n +1} - a_{n}\}$ 是否为“ $D (h)$ 型数列”，并证明；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + 1)$ ， $\exists n \in N^{*}$ ，使不等式 $n (1 + b_{n}) - λ b_{n} (n + 2) - 3 < 0$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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15、近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组： $[5, 6), [6, 7), [7, 8), [8, 9]$ 并整理得到如图的频率分布直方图：

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有 $X$ 辆汽车行驶里程不小于8万公里，求 $X$ 的分布列．

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16、若直线 $y = 3 x + 2 a$ 与曲线 $y = ln x + 2 x$ 相切，则实数 $a$ 的值为.

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17、如果一个函数 $f (x)$ 在其定义区间内对任意 $x$ ， $y$ 都满足 $f (\frac{x + y}{2}) \leq \frac{f (x) + f (y)}{2}$ ，则称这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是（）

A、 $f (x) = 2^{x}$ B、 $f (x) = 3 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = \log_{2} x (x > 0)$ D、 $f (x) = \{\begin{matrix} x, x < 0 \\ 2 x, x \geq 0 \end{matrix}$

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18、已知 $A, B, C, D$ 为球 $O$ 的球面上的四个点，圆 $O_{1}$ 为 $△ A B C$ 的外接圆．若圆 $O_{1}$ 的面积为 $4 π$ ， $D A = D B = D C = A B = B C = A C$ ，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $3 \sqrt{2} π$ B、 $9 \sqrt{2} π$ C、 $18 π$ D、 $18 \sqrt{2} π$

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19、某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中第1人是男生的条件下，第2人恰好是女生的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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20、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{5} = 1$ ， $S_{11} = - 11$ ，则 $S_{n}$ 的最大值为（）

A、16 B、18 C、23 D、25

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