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相关试卷

1、对于实数 $x$ ，规定 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，如 $[π] = 3$ ， $[- 2.1] = - 3$ ，那么不等式 $4 {[x]}^{2} - 16 [x] + 7 < 0$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $x \in [1, 3]$ B、 $x \in [0, 4]$ C、 $x \in [1, 4)$ D、 $x \in [2, 4)$

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2、若 $a < b < 0 < c$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $- b < c$ C、 $|a - c| > |b|$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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3、设函数 $f (x) = |3 x - 3| + |2 x - 1|$ 的最小值为 $m$ ，若 $a, b, c \in R$ ，且 $a + b + c = m$ ， $a b c = \frac{1}{2}$ ，用 $max \{a, b, c\}$ 表示 $a, b, c$ 中的最大数，则 $max \{a, b, c\}$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4、已知函数 $y = (2 m - 1) x^{m} + n - 2$ 是幂函数，一次函数 $y = k x + b (k > 0, b > 0)$ 的图像过点 $(m, n)$ ，则 $\frac{4}{k} + \frac{1}{b}$ 的最小值是（）

A、3 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{14}{3}$ D、5

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5、已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的函数解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{|x| - 1}$ B、 $f (x) = \frac{1}{||x| - 1|}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x^{3} + 1}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

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6、已知 $2 \in \{2 a, a^{2} + a\}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、1或 $- 2$ B、1 C、 $- 2$ D、1或 $- 1$

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7、下列各组表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ B、 $f (x) = 1, g (x) = x^{0}$ C、 $f (x) = \{\begin{cases} x - 2, x \geq 2 \\ - x + 2, x < 2 \end{cases}, g (x) = |x - 2|$ D、 $f (x) = x + 3, g (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$

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8、设命题 $p : \exists x \in R, x^{2} > 2021$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} \leq 2021$ B、 $\forall x \in R, x^{2} > 2021$ C、 $\exists x \in R, x^{2} \leq 2021$ D、 $\exists x \in R, x^{2} < 2021$

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9、已知圆 $C : x^{2} + {(y + 4)}^{2} = 18$ ，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 2$ 与 $x$ 轴交于 $F_{1}, F_{2}$ 两点.

(1)、过 $A (0, - 1)$ 的直线 $y = k x - 1$ 与圆 $O$ 交于 $C, D$ 两点，与圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，若 $|C D| \cdot |M N| = 16$ ，求 $k$ 的值；

(2)、若平面内动点 $P$ 满足： $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 6$ ，记 $P$ 的轨迹为 $W$ .
（i）求 $W$ 的方程；
（ii）过 $A (0, - 1)$ 的射线交圆 $O$ 于 $R$ ，交 $W$ 于 $Q$ ，且满足 $|A R| \cdot |A Q| = 3$ ，记直线 $O R$ ，直线 $O Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值.

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10、如图所示，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，侧面 $P B C$ 为直角三角形， $O$ 是 $P C$ 的中点， $Q$ 是直线 $A D$ 上的动点，过直线 $B C$ 的平面与侧棱 $P A$ ， $P D$ 分别交于 $N$ ， $M$ 且 $M N = 2$ ，其中 $B C = P B = 4$ ， $A C = A B = A P = 6$ .

(1)、求证： $M N / / A D$ ；

(2)、求异面直线 $M N$ 与 $P C$ 所成的角；

(3)、求直线 $O Q$ 与平面 $B C M N$ 所成角的正弦值的最大值.

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11、已知直线 $l$ 过 $A (- 2, 0)$ ，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ .

(1)、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相切时，求 $l$ 的方程；

(2)、过 $A$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $P$ ， $Q$ ，求 $△ A P Q$ 外接圆的方程.

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12、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ ， $P$ 分别是 $B D$ ， $A A_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $O P ⊥$ 平面 $C_{1} B D$ ；

(2)、求锐二面角 $D_{1} - C_{1} D - B$ 的余弦值.

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13、已知直线 $l$ 经过点 $A (1, 1)$ .

(1)、若 $l$ 与直线 $l_{1} : x - y + 2 = 0$ 平行，求 $l$ 的方程；

(2)、若 $l$ 与直线 $l_{1} : x - y + 2 = 0$ 垂直，求 $l$ 的方程.

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14、已知正四面体 $P - A B C$ 边长为6，若 $M$ 是正四面体 $P - A B C$ 外接球球面上的一点， $N$ 是 $△ P B C$ 内切圆上一点，则 $|M N|$ 的最大值为.

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15、已知直线方程为 $x - y = 0$ ，则直线的倾斜角为.

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16、在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 是正方形 $A B C D$ 的中心， $A B = 4$ ， $A A_{1} = 3$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ，则（）

A、 $O B_{1} //$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ B、正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $8 \sqrt{7}$ C、正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球的表面积为 $\frac{225π}{7}$ D、正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 存在内切球

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17、已知直线 $l : λ x + y + 2 λ - 2 = 0$ ，圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 则下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 2, 2)$ B、直线 $l$ 与圆 $C_{1}$ 一定相交 C、圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 公共弦所在直线方程为 $y = - x$ D、直线 $l$ 与圆 $C_{2}$ 相交的最长弦长是 $4$

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18、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、椭圆 $C$ 的焦距为 $\sqrt{3}$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$

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19、已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A D = B C = 6$ ，侧面 $P A B$ ， $P C D$ 分别是边长为10，6的等边三角形，若动平面 $P E F$ 交直线 $B C$ ， $A D$ 于 $E$ ， $F$ 两点，且平面 $P E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，则平面 $P E F$ 与平面 $P A B$ 所成二面角的余弦值的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，直线 $A F_{1}$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $B$ ，若 $|B F_{2}| = 5 |B F_{1}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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