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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{x - a}{x + 1}$ 为奇函数，且不为常函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) - {log}_{2} (x - a)$ ，用定义法证明： $g (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减；

(3)、若（2）中的 $g (x)$ 对 $\forall x \in [7, 9]$ ，不等式 $g (x) < x + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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2、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y - 1 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 7 = 0$ 相交于两点A，B，则AB的直线方程为．

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3、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3 |\vec{b}| = 3$ ，且 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 在 $\vec{a} - \vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ = ．

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4、已知点 $A (2, 0)$ ， $B (0, 2)$ ， $P (m, n)$ 在曲线 $x = \sqrt{1 - y^{2}}$ 上，记 $∠ A P B = α$ ，则存在函数 $f (x)$ ，对曲线上任意一点P都有（）

A、 $m = f (α)$ B、 $α = f (m)$ C、 $n = f (α)$ D、 $α = f (n)$

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5、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线交椭圆于 $M$ ， $N$ ，若 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ，且 $\vec{M F_{1}} = 2 \vec{F_{1} N}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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6、已知函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 1$ ，且 $a \neq 1$ ）、 $g (x) = {log}_{a} x$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）、 $h (x) = x^{a} (a \neq 0)$ .

(1)、若 $f (x) = e^{x}$ 、 $h (x) = x^{2}$ ，求函数 $y = h (x) f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $g (x) = ln x$ 与 $h (x) = x^{a}$ （ $x > 0$ ，且 $a \neq 0$ ）的图象存在公切线，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若函数 $f (x) = a^{x}$ 与 $g (x) = {log}_{a} x$ 的图象有三个公共点，求实数 $a$ 的取值范围.

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7、某科研小组研发了一款新式无人机，其生产过程有4道工序，前3道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测，包括智能检测与人工检测，其中智能检测为次品的会自动淘汰，合格的进入流水线进行人工检测.已知该新式无人机在生产中前3道工序的次品率分别为 $\frac{1}{58}$ ， $\frac{1}{59}$ ， $\frac{1}{60}$ .

(1)、若某批次生产了这款新式无人机1000架，记X为该批次经过前3道工序合格的架数，求 $X$ 的数学期望；

(2)、已知某批次的新式无人机智能检测显示合格率为 $\frac{49}{50}$ ，在智能检测合格的前提下，求人工随机抽检一架新式无人机恰好为合格品的概率；

(3)、该科研小组为了庆祝获得研究成果，举行联欢晚会，晚会期间，该小组组织了一个现场抽奖游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运观众，每次都要有放回地含有10张红色卡片和10张绿色卡片的箱子中随机抽取一张，指挥无人机运送匹克球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的匹克球，乙箱中没有球，若抽到红色卡片，则从甲箱中运一个匹克球到乙箱；若抽到绿色卡片，则从甲箱中运两个匹克球到乙箱，当乙箱中的匹克球数目达到9个，下一轮直接达到11个，获得优惠券，游戏结束；当乙箱中的匹克球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得大礼包时游戏结束.求游戏结束时，幸运观众获得优惠券的概率.

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8、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $n lg a_{n + 1} = (n + 1) lg a_{n}$ 且 $a_{1} = 3$ ，

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $[S_{2025}]$ （ $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）.

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9、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是边长为2的等边三角形，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $B C ∥ A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = B C = 1$ ．

(1)、求 $B$ 到平面 $P C D$ 的距离；

(2)、线段 $P D$ 上是否存在一点 $E$ ，使得平面 $E A C$ 与平面 $D A C$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ？若存在，求出 $\frac{P E}{P D}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边上的一点， $α = ∠ B A D$ ， $β = ∠ D A C$ .

(1)、证明： $\frac{B D}{D C} = \frac{A B \cdot sin α}{A C \cdot sin β}$ ；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 的中点， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $β = 90^{\circ}$ ，求三角形 $A C D$ 的面积.

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11、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $2 S_{n} = a_{n + 1} - 1 (n \in N^{*})$ .若对任意的正整数 $n$ ，都有 $a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + a_{3} b_{n - 2} + \dots + a_{n} b_{1} = 3^{n} - n$ 成立，则满足等式 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} = a_{n}$ 的所有正整数 $n$ 的和为.

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12、如图， $4 \times 6$ 的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量 $\vec{O A}$ （以图中的格点 $O$ 为起点，格点 $A$ 为终点），则满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 1$ 的格点 $B$ 共有个（规定横、纵坐标均为整数的点称为格点）.

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13、所有棱长均为4的三棱锥的体积是.

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14、如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线 $C : y^{2} = x^{3} - 2 x + 2$ 的一部分，则（）

A、点 $(1, 1)$ 在 $C$ 上 B、在 $(1, 1)$ 处 $C$ 的切线，其与 $C$ 的交点的横纵坐标均为整数 C、若 $C$ 在 $x$ 轴上方的部分为函数 $f (x)$ 的图象，则 $x = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 是 $f (x)$ 的极小值点 D、 $C$ 在 $y$ 轴左边的部分到坐标原点 $O$ 的距离均大于 $\sqrt{2}$

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15、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、该图象对应的函数解析式为 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{3})$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5 π}{12}, 0)$ 对称 D、函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递减

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16、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $∠ A B D + ∠ C B D = \frac{π}{2}$ ，且 $B D = B C = 4$ ，则已知三棱锥 $A - B C D$ 外接球表面积的最小值为（）

A、 $(8 \sqrt{5} + 4) π$ B、 $(8 \sqrt{5} + 8) π$ C、 $(8 \sqrt{5} - 4) π$ D、 $(8 \sqrt{5} - 8) π$

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} ln a - a x (a > 1)$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $e$ B、 $\sqrt{e}$ C、 $e^{2}$ D、 $\frac{e^{2}}{2}$

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18、已知函数 $f (x) = e^{x} + a e^{- x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 为奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递增 B、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 为偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减 C、当 $a = - 1$ 时，函数 $f (x)$ 为奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递增 D、当 $a = - 1$ 时，函数 $f (x)$ 为偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减

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19、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2 cm$ ，取正方形 $A B C D$ 各边的中点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ，作第2个正方形 $E F G H$ ，然后再取正方形 $E F G H$ 洛边的中点 $I$ ， $J$ ， $K$ ， $L$ ，作第3个正方形的 $I J K L$ ，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（）

A、 $\frac{63}{32}$ B、 $\frac{31}{4}$ C、 $\frac{63}{8}$ D、8

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20、已知复数 $z$ 满足 $z i = 1 + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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