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相关试卷

1、现有A、B两个不透明的袋子，A袋中装有2个红球、2个白球，B袋中装有1个红球、2个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜游戏规则是：玩家先从袋子A中随机摸出2个球，
情况1：摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入袋子B中，然后从袋子B中随机摸出2个球；若摸出2个球同色，则玩家获得8分，若摸出2个球不同色，则玩家获得4分；
情况2：摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回袋子A中，然后从袋子A中再随机摸出2个球；若摸出2个球同色，则玩家获得6分，若摸出2个球不同色，则玩家获得4分.

(1)、求玩家甲在游戏中得8分的概率；

(2)、求玩家乙在游戏中获胜的概率；

(3)、设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为X，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ .

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2、已知三棱锥 $O - A B C$ 中， $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ A O C = \frac{π}{3}$ ， $O A = 2$ ， $O B = 3$ ， $O C = 4$ ，点 $D$ 为 $A C$ 的中点，点 $E$ 满足 $\vec{O E} = 2 \vec{E B}$ ，点 $F$ 满足 $\vec{E F} = \vec{F D}$ .

(1)、求 $D E$ 的长；

(2)、求 $\vec{O F} \cdot \vec{C B}$ 的值.

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3、已知 ${(x - \frac{2}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，各项的二项式系数的和为 $64$ .

(1)、求展开式中所有项的系数之和；

(2)、求展开式中系数最大的有理项.

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4、从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选取3个数字，试问：

(1)、能组成多少个没有重复数字的三位数?

(2)、能组成多少个没有重复数字的三位偶数?

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5、空间四面体 $A B C D$ 中， $\vec{A M} = \vec{M C}$ ， $\vec{B N} = 2 \vec{N D}$ ，且 $A B = A D = B C = C D = \sqrt{10}$ ， $A C = B D = 3 \sqrt{2}$ ，则直线 $M N$ 与直线 $B C$ 所成角的余弦值为

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6、某工厂3个车间生产同一件计算机配件，3个车间产量分别占总产量的25%，30%，45%，这3个车间的次品率依次为6%，5%，5%.任取一个配件是次品的概率为.

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7、计算 $A_{5}^{2} + C_{10}^{2} =$ .（用数字作答）

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8、如图，“杨辉三角”是二项式系数在压角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（）

A、在“杨辉三角”中，当 $n = 9$ 时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为120 B、在“杨辉三角”第 $n$ 行中，从左到右只有第6个数是该行的最大值，则 $n$ 为12 C、记“杨辉三角”第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 3^{i - 1} \cdot a_{i} = 3^{n}$ D、在“杨辉三角”中，第 $n$ 行所有数字的平方和恰好是第 $2 n$ 行的中间一项的数字

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9、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = A D = 4$ ， E、F分别是 $A B_{1}$ 、 $B C_{1}$ 的中点，则下列结论中成立的是（）

A、 $E F / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、 $E F ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ C、点 $A$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、直线 $E F$ 到平面 $A_{1} C_{1} D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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10、下列说法正确的有（）

A、从 $6$ 件不同的礼物中选出 $3$ 件分别送给 $3$ 名同学，共有 $120$ 种不同方法 B、平面内有 $6$ 个点，以其中 $2$ 个点为端点的线段共有 $15$ 条 C、从 $2$ 、 $5$ 、 $10$ 、 $13$ 、 $15$ 五个数中任取两个相减可以得到 $20$ 个不相等的差 D、 $4$ 个不同的小球放入编号为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 的 $4$ 个盒子中，恰有一个空盒的放法有 $144$ 种

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11、已知3名医生和3名护士排成一排拍合照，若医生甲不站两端，3名护士中至多有2名相邻，则不同的排法共有（）种.

A、72 B、144 C、288 D、408

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12、各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如六进制数 ${(2501)}_{6}$ 转换为十进制数的算法为 $2 \times 6^{3} + 5 \times 6^{2} + 0 \times 6^{1} + 1 \times 6^{0} = 613$ .若将六进制数 $\underset{7 个 5}{\underset{⏟}{55 \cdot \cdot \cdot 5}}$ 转换为十进制数，则转换后的数被 $7$ 除所得的余数是（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $5$

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13、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，点 $E$ 为 $P A$ 的中点，点 $F$ 满足 $\vec{P F} = 2 \vec{F C}$ ，点 $Q$ 满足 $\vec{P Q} = λ \vec{Q D}$ ，若 $B$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $Q$ 四点共面，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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14、已知随机变量X的分布列为
$X$
0
1
$P$
$p$
$1 - p$
若 $D (X) = \frac{p}{4} (0 < p < 1)$ ，则 $p$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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15、若随机事件A，B满足 $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{2}$ ， $P (B |A) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (A |B) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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16、从5名大学毕业生中挑选3个人，分别担任三个班的实习班主任，甲、乙至少有1人入选，则不同的安排方法有（）种

A、9 B、36 C、54 D、72

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17、已知向量 $\vec{a} = (x, 4, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, y, 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则（）

A、 $x y = - 8$ B、 $x y = - 2$ C、 $x y = 2$ D、 $x y = 8$

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18、（1）已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .
①若 $a = 3, b = 5, c = 7$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .
②记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，求证： $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .
（2）在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = a, B C = b, C D = c, D A = d$ ，记 $q = \frac{a + b + c + d}{2}$ ，求证：四边形 $A B C D$ 的面积 $S \leq \sqrt{(q - a) (q - b) (q - c) (q - d)}$ .

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19、如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A D / / B C$ ，且 $A D = 2 B C$ ，过 $A_{1}, C, D$ 三点的平面记为 $α$ ， $B B_{1}$ 与 $α$ 的交点为 $Q$ .

(1)、证明： $Q$ 为 $B B_{1}$ 的中点；

(2)、求此四棱柱被平面 $α$ 所分成上下两部分的体积之比；

(3)、若 $A A_{1} = 4, C D = 2$ ，梯形 $A B C D$ 的面积为 $6$ ，求平面 $α$ 与底面 $A B C D$ 所成锐二面角的正切值.

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20、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ P A B$ 为等边三角形， $A C ⊥ B C$ 且 $A C = B C = 2$ ， $O$ ， $M$ 分别为 $A B$ ， $P B$ 的中点．

(1)、求证：平面 $M O C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $M C$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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$X$	0	1
$P$	$p$	$1 - p$