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相关试卷

1、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A P ⊥ C P$ ， $A P = C P = 2$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点，且平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $A P ⊥$ 平面 $B C P$ ；

(2)、已知平面 $α$ 经过直线 $P C$ ，且 $A B / / α$ ，直线 $P D$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积.

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2、已知函数 $f (x) = 3 \sin x - x \cos x$ ，设 $g (x) = f^{'} (x)$ .

(1)、求证： $g (x)$ 是 $(0, π)$ 上的单调递减函数；

(2)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) < 2 x$ .

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3、在 $△ A B C$ 中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ .

(1)、求角C大小；

(2)、求证： $a + b \leq 2 c$ .

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4、已知点M为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点， $4 |M O| = 4 |M F| = 7 |O F|$ ，则双曲线C的离心率为；若 $M F, M O$ 分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2} =$ ．

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5、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F, A B$ 是经过抛物线焦点F的弦，M是线段 $A B$ 的中点，经过点A，B，M作抛物线的准线l的垂线 $A C, B D, M N$ ，垂足分别是C，D，N，其中 $M N$ 交抛物线于点Q，连接 $Q F, N F, N B, N A$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $| M N | = \frac{1}{2} | A B |$ B、以 $A N$ 为直径的圆与x轴相切 C、 $△ Q F M$ 为等腰三角形 D、 $∠ Q F M = 2 ∠ Q M F$

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6、下列说法中正确的是（）

A、数据1，2，2，3，4，5的极差与第六十百分位数之和为7 B、若随机变量 $X$ 服从二项分布 $X ~ B (20, p)$ ，且 $E (X) = 8$ ，则 $D (X) = 4.8$ C、 $X$ 和 $Y$ 是分类变量，若 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 值越大，则判断“ $X$ 和 $Y$ 独立”的把握性越大 D、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $X ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X > 5) = 0.2$ ，则 $P (- 1 < X < 5) = 0.6$

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7、在 $(2 - \frac{x}{y}) {(x + y)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{3} y^{2}$ 的项的系数是（）

A、 $- 10$ B、10 C、20 D、30

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8、已知集合 $A = \{x |\log_{2} x \geq 1\}$ ，集合 $B = \{y |y = \sqrt{2^{x} - 1}, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[\sqrt{3}, + \infty)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $[3, + \infty)$

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9、复数 $\frac{i^{2025}}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10、已知某圆锥的侧面展开图是面积为 $2 π$ 的半圆，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\sqrt{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$

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11、设函数 $f_{k} (x) = 3^{x} + k \cdot 3^{- x} (k \in Z)$ .

(1)、求证： $f_{1} (x)$ 是偶函数；

(2)、若 $\exists x \in [0, 2]$ ，使得 $m f_{0} (x) - f_{1} (x) + 3 \leq 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、设函数 $g (x) = λ f_{- 1} (x) - f_{1} (2 x) - 14$ ，若方程 $g (x) = 0$ 在 $x \in [1, + \infty)$ 有唯一实数解，求实数 $λ$ 的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{x + a} (a \in R)$ 是奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、已知函数 $g (x) = x^{2} - m x + 2 - m (m \in R)$ ，若对 $\forall x_{1} \in [0, 2]$ ， $\forall x_{2} \in [\frac{1}{3}, 2]$ ，使得 $g (x_{1}) \geq f (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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13、某企业计划生产某种新型的电子设备，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产试销.通过市场分析发现，生产此款电子设备全年需投入固定成本120万元，每生产 $x$ 千套电子设备，需另投入成本 $H (x)$ 万元，且 $H (x) = \{\begin{array}{l} 10 x^{2} + 100 x, (0 < x < 30, x \in N) \\ 510 x + \frac{16000}{x} - 5000, (x \geq 30, x \in N) \end{array}$ ，假设每千套电子设备售价定为500万元，且全年内生产的电子设备当年能全部销售完.

(1)、求全年的利润 $W (x)$ 万元关于年产量 $x$ 千套的函数关系式（利润=销售额 $-$ 成本）；

(2)、当全年产量为多少千套时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？

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14、已知不等式 $x^{2} - m x + 3 m + 1 < 0$ 的解集为 $(- 2, n)$ .

(1)、求 $m$ 和 $n$ 的值；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - (n + a) x - m > 0 (a \in R, a < 1)$ .

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15、已知全集为 $R$ ，集合 $A = \{x |2 a \leq x \leq a + 2\}$ ， $B = \{x |2 < x \leq 4\}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、若实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $\frac{4}{2^{a}} + \frac{1}{2^{b}} = 1$ ， $1 + c \cdot 2^{a} + 4 c \cdot 2^{b} = 2^{a + b}$ ，则实数 $c$ 的最小值是.

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17、若关于 $x$ 的不等式 $a x - b > 0$ 的解集为 $\{x |x < 2\}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $\frac{a x + b}{x - 1} > 0$ 的解集为.

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18、已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ （ $α$ 是常数）满足 $f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (25) =$ .

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19、设集合 $A$ 是实数集 $R$ 的子集，如果实数 $x_{0}$ 满足：对任意 $a > 0$ ，都存在 $x \in A$ ，使得 $0 < |x - x_{0}| < a$ ，称实数 $x_{0}$ 为集合 $A$ 的聚点，则在下列集合中，以1为聚点的集合有（）

A、 $\{x \in Z |x \neq 1\}$ B、 $\{x \in Q |x \neq 1\}$ C、 $\{x |x = \frac{n}{n + 1}, n \in N^{*}\}$ D、 $\{x |x = \frac{1}{3^{n}}, n \in N^{*}\}$

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20、函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{4^{x} + k} (k \in R)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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