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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = 2 \sqrt{3}$ ， $G$ 为 $C D$ 的中点， $E$ ， $F$ 是棱 $P D$ 上两点（ $F$ 在 $E$ 的上方），且 $E F = 2$ ．

(1)、若 $D E = 1$ ，求证： $B F / /$ 平面 $A E G$ ；

(2)、当点 $F$ 到平面 $A E C$ 的距离取得最大值时，求直线 $A G$ 与平面 $A E C$ 所成角的正弦值．

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2、“潮州柑”是一种象征吉祥的果子，因比桔大，故俗称“大吉”，而桔与吉同音，用谐音会意法，就成了大吉．春节时候，潮州人有带“大吉”拜年的习俗，互换“大吉”，愿彼此“大吉大利”．春节将至，某水果店对“潮州柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：
试销单价 $x$ （元）
3
4
5
6
7
产品销量 $y$ 件
20
16
15
12
6

(1)、经计算相关系数 $r \approx - 0.97$ ，变量 $x$ ， $y$ 线性相关程度很高，求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数 $X$ 的分布列和数学期望．
参考公式：线性回归方程中 $\hat{b}$ ， $\hat{a}$ 的最小二乘法估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 313$

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3、设 $F$ 为抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点， $P$ 为 $C$ 的准线与 $x$ 轴的交点，且直线 $l$ 过点 $P$ ．

(1)、若 $l$ 与 $C$ 有且仅有一个公共点，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $F A ⊥ F B$ ，求 $△ F A B$ 的面积．

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4、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a \cos B + (b - \sqrt{2} c) \cos A = 0$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{5}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{2} - 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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5、在平面直角坐标 $x O y$ 中，已知点 $A (1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，点 $P$ 满足 $|P A| = \frac{1}{2} |P B|$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为，若直线 $l$ 的方程为 $y = k (x - 2) + 2$ ，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的最大值为，

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6、如图，三个相同的正方形相接，则 $α + β =$ ．

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7、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{5} - a_{3} = a_{7} - 10$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前9项和 $S_{9} =$ ．

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8、设 ${(2 x - 1)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{6} x^{6}$ ，则（）

A、 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{6} = 3^{6}$ B、 $a_{2} + a_{3} = 220$ C、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{6}}{2^{6}} = - 1$ D、当 $x = 5$ 时， ${(2 x - 1)}^{6}$ 除以8的余数是7

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9、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (- 2, 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, t)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $t$ 的值为 $- 2$ B、 $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}|$ 的最小值为1 C、若 $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}| = |\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ，则 $t$ 的值为2 D、若 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为钝角，则 $t$ 的取值范围是 $t < 2$ 且 $t \neq - \frac{1}{2}$

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10、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示.将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $t$ （ $t > 0$ ）个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象.若函数 $g (x)$ 为奇函数，则 $t$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{π}{2}$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (1 + a) x + a \ln x$ 在 $x = a$ 处取得极大值，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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12、若正四面体的棱长为 $2 \sqrt{3}$ ，则该正四面体的外接球的表面积为（）

A、 $18 π$ B、 $24 π$ C、 $32 π$ D、 $36 π$

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13、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程是 $y = 2 x$ ，则 $E$ 的离心率是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、5 D、 $\sqrt{5}$

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14、已知集合 $P = \{x |x^{2} - x - 6 < 0\}$ ， $Q = \{x \in N |x \geq 0\}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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15、记集合 $A$ ， $B$ 为集合 $S = {1, 2, 3, \dots, n}$ （ $n \in N^{*}$ ）的两个子集，且满足 $A \cup B = S$ ， $A \cap B = \emptyset$ .定义： $f (A, B) = |\sum_{a \in A} a - \sum_{b \in B} b|$ （ $\sum_{a \in A} a$ ， $\sum_{b \in B} b$ 分别表示集合 $A$ ， $B$ 中所有元素的和）.

(1)、当 $n = 4$ 时，求 $f (A, B)$ 的所有可能的值；

(2)、求 $f (A, B)$ 的最小值；

(3)、设 $k$ 为不超过 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 的自然数，且 $k$ 与 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 的奇偶性相同，证明：存在 $A$ ， $B$ ，使得 $f (A, B) = k$ .

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $e$ .过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 分别交 $C$ 的左、右两支于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，且 $|A F_{1}| \cdot |B F_{1}| = | A B |^{2}$ .

(1)、求 $\frac{y_{1}}{y_{2}}$ 的值；

(2)、求 $e$ 的取值范围；

(3)、若 $e = 3$ ，证明： $|A F_{2}| = |B F_{2}|$ .

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17、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{n} > 0$ ， $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} - 3$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \{\begin{cases} a_{n} - a_{n + 1}, & n 为奇数 \\ a_{n} + a_{n + 1}, & n 为偶数 \end{cases}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对任意 $n \in N^{*}$ ， $T_{n} \geq 10 n + λ$ ，求实数 $λ$ 的取值范围.

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18、如图，在边长为2的正三角形 $A B C$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A C$ ， $B C$ 的中点，将 $△ C E F$ 沿 $E F$ 翻折至 $△ P E F$ ，使得 $P E ⊥ A E$ .

(1)、证明：平面 $P B E ⊥$ 平面 $A B F E$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P E F$ 所成角的正弦值.

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} - 5 x + 2 \ln x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{4}, 4]$ 上的最大值.

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20、设函数 $f (x) = \ln x + a x (a > 0)$ ，若方程 $f (f (x)) = x$ 在区间 $[2, 4]$ 上有解，则实数 $a$ 的取值范围为.

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试销单价 $x$ （元）	3	4	5	6	7
产品销量 $y$ 件	20	16	15	12	6