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相关试卷

1、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A C$ 和 $B D$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{M D_{1}}$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ （D和A重复了）

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2、若 $△ A B C$ 内一点 $P$ 满足 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = θ$ ，则称点 $P$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡点， $θ$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡角．如图，已知 $△ A B C$ 中， $B C = a, A C = b, A B = c$ ，点 $P$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡点， $θ$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡角．

(1)、若 $b = c$ ，且满足 $\frac{P B}{P A} = \sqrt{3}$ ，
①求 $∠ A B C$ 的大小；
②若 $\frac{P C}{P B} = \sqrt{3}$ ，求布洛卡角 $θ$ 的正切值；

(2)、若 $P B$ 平分 $∠ A B C$ ，试问是否存在常实数 $t$ ，使得 $b^{2} = t a c$ ，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由．

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3、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，且 $B_{1} C ⊥ A B$ ，点 $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证：直线 $B_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $A B = 1$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， $B B_{1} = 3$ ，求直线 $C D$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值．

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4、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chúméng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍， $E F // A B$ ，侧面 $△ A D E$ 和 $△ B C F$ 为等边三角形，且与底面所成角相等；若 $A B = A D = 4$ ， $E$ 到底面 $A B C D$ 的距离为 $\sqrt{11}$ ，则该刍甍的体积为．

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5、已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ .

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6、已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $\cos (α + β) = \frac{3}{5}$ ， $\tan α \tan β = \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $\sin α \sin β = \frac{4}{5}$ B、 $cos (α - β) = 1$ C、 $\tan α + \tan β = 4$ D、 $\sin α \cos β = \frac{2}{5}$

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7、下列说法错误的是（）

A、在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 $x + y = a (a \in R)$ 表示 B、方程 $m x + y - 2 = 0 (m \in R)$ 表示的直线斜率一定存在 C、经过点 $P (1, 2)$ ，倾斜角为 $α$ 的直线方程为 $y - 2 = tan α (x - 1)$ D、经过两点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}, y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ 的直线方程为 $y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (x - x_{1})$

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8、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边 $△ A B C$ ，若 $D F = 2$ ， $\sin ∠ B A D = \frac{3 \sqrt{3}}{14}$ ．则 $B D =$ （）

A、 $3$ B、 $2$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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9、已知直线 $l$ 的方程为 $x sin α + \sqrt{3} y - 1 = 0, α \in R$ ，则直线 $l$ 的倾斜角范围是（）

A、 $(0, \frac{π}{3}] \cup [\frac{2}{3} π, π)$ B、 $[0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{5 π}{6}, π)$ C、 $(0, \frac{π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, π)$ D、 $[0, \frac{π}{3}] \cup [\frac{2 π}{3}, π)$

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10、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = \sqrt{7}$ ， $2 sin A = 3 sin C$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $D$ 是 $A C$ 中点，则 $B D =$ （）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$

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11、用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2，4，5，7，9，则该样本的平均数为（）

A、4.5 B、4.8 C、5.4 D、6

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12、 $\vec{A B} - \vec{A D} + \vec{B C} - \vec{D C} =$ （）

A、 $2 \vec{B D}$ B、0 C、 $\vec{B D}$ D、 $\vec{0}$

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13、复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 3 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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14、已知A，B分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = | A B | = 4$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、已知过点 $(4, 0)$ 的直线 $l : x = m y + 4$ ，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）．
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线 $A D$ 与直线 $B E$ 交于点Q，求证：点Q在定直线上．

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15、如图，已知矩形 $A B C D$ ， $D E = \sqrt{2}$ 所在平面与直角梯形 $A B P E$ 所在平面交于直线 $A B$ ，且 $A B = B P = 2$ ， $A D = A E = 1$ ， $A E ⊥ A B$ ，且 $A E / / B P$ .

(1)、设点 $M$ 为棱 $P D$ 的中点，求证： $E M / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $C - P D - E$ 的正弦值；

(3)、线段 $P D$ 上是否存在一点 $N$ ，使得直线 $B N$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{5}$ ？若存在，试确定点 $N$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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16、已知圆C经过点 $A (1, 5)$ 和 $B (- 2, 2)$ ，且圆心C在直线 $3 x - y - 1 = 0$ 上.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线l经过点 $D (4, 1)$ 且与圆C相切，求直线l的方程；

(3)、若直线 $x + \sqrt{3} y + a = 0$ 与圆C相交于E、F两点，且 $∠ E C F = 60 °$ ，求实数a的值.

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17、已知椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上顶点为 $A (0, 2)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求 $M N$ 的长.

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前n项和， $a_{3} = 6$ ， $S_{6} = 42$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{4}$ .

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19、点 $F_{1}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线 $l_{1} ： t x - y + t - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + t y + 2 t - 1 = 0$ 的交点为 B ，则 $|A B| + |A F_{1}|$ 的最小值为.

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20、已知圆 $C_{1}$ ： ${(x + 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）与圆 $C_{2}$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 没有公共点，则r的取值范围是.

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