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相关试卷

1、若 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 均为复数，下列说法正确的是（）

A、 $|z_{1}| |z_{2}| = |z_{1} z_{2}|$ B、若 $|z_{1} + 1| = |z_{2} + 1|$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ C、若 $z_{1} + {\bar{z}}_{1} = 2 z_{2}$ ， $z_{2} \in R$ D、若 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = i^{2024} (z_{1} + n)$ 在复平面内对应的点在第一象限，则实数n的范围是 $(- \infty, - 1)$

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2、若椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线l： $y = - x + 1$ 与椭圆交于A，B两点，若点P为线段 $A B$ 上的动点，则 $S_{△ A F_{1} P} + S_{△ B F_{2} P}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3} + 1}{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} - 1}{5}$ C、 $\frac{4 (\sqrt{3} - 1)}{5}$ D、 $\frac{4 (\sqrt{3} + 1)}{5}$

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3、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若对任意正整数 $p$ ， $q$ ，若 $p > q$ 时，恒有 $a_{p + q} + a_{p - q} = 2 a_{p} - a_{q}$ 成立，则 $S_{7} =$ （）

A、 $32$ B、 $35$ C、 $38$ D、 $40$

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4、已知 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 是直三棱柱，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足 $b \cos C + C \cos B = a \sin A$ ， $a = \sqrt{2 b c} = 1$ ，若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 有内切球，则 $A A_{1} =$ （）

A、 $2 \sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $2 \sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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5、从两名男同学和四名女同学中随机选出三人参加数学竞赛，则恰好选出一名男同学和两名女同学的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\log_{2} x|, 0 < x < 4 \\ \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1, x \geq 4 \end{array}$ 与直线 $y = a$ 恰有三个交点，则a的取值范围是（）

A、 $[1, 2]$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, 2]$ D、 $[1, 2)$

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7、若 $cos 10 ° = a$ ， $sin 10 ° = b$ ，则 $\frac{cos 80 ° sin 10 °}{sin 20 °} =$ （）

A、 $\frac{a}{2 b}$ B、 $\frac{b}{2 a}$ C、 $\frac{a}{b}$ D、 $\frac{b}{a}$

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8、已知集合 $A = \{x |y = \frac{x}{\sqrt{2 - x}} + \ln x\}$ ，集合 $B = \{x |y = x^{2} + 2 x - 3 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 3, 2)$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(- 3, - 2)$

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9、若 $\frac{z}{z + 1} = 1 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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10、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x + (a - 1) \ln x$ ， $f^{'} (2) = 2.$

(1)、求a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极小值.

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11、已知函数 $f (x) = \sin x (1 - 2 \cos^{2} \frac{x}{2})$ ，则曲线 $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{3}$ 处的切线斜率为.

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12、如图，在正三棱锥 $P - A B C$ 中，点G为 $△ A B C$ 的重心，点M是线段 $P G$ 上的一点，且 $P M = 3 M G$ ，记 $\vec{P A} = \vec{a}, \vec{P B} = \vec{b}, \vec{P C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ B、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

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13、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, - 3)$ .

(1)、求 $| \vec{b} |$ ；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，求 $\vec{a}$ 的坐标；

(3)、若 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = 2 \sqrt{7}$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角.

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14、某摩天轮最高点距离地面高度 $128$ 米，转盘直径为 $120$ 米，设置有 $48$ 个座舱，每相邻两个乘座舱与旋转中心所成的圆心角均相等，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要 $30$ 分钟，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，在 $t min$ 后距离地面的高度 $h (t) = A sin (ω t + φ) + B (A > 0, ω > 0, |φ| \leq \frac{π}{2})$ ，则 $h (t)$ 的函数解析式为；在摩天轮转动的一周内，有 $min$ 距离地面超过 $38$ 米.

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15、如图，已知菱形 $A B C D$ ，用斜二测画法作出菱形 $A B C D$ 的直观图即四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积为.

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16、若正方体的顶点都在同一球面上，该球的表面积为 $36 π$ ，则该正方体的体积为．

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17、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $(\sqrt{3} c - 2 a sin B) sin C = \sqrt{3} (b sin B - a sin A)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\cos A \cos C$ 的取值范围是 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{4}]$ B、若D是AC边上的一点，且 $\vec{C D} = 2 \vec{D A}$ ， $B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、若三角形是锐角三角形，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, 2)$ D、若三角形是锐角三角形，BD平分 $∠ A B C$ 交AC于点D，且 $B D = 1$ ，则 $4 a + c$ 的最小值为 $3 \sqrt{3}$

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18、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}, C_{1} C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A M$ 与 $B N$ 是平行直线 B、直线 $B N$ 与 $M B_{1}$ 是异面直线 C、直线 $M N$ 与 $A C$ 所成的角为 $60^{\circ}$ D、四边形 $M N B A_{1}$ 的面积为 $\frac{9}{2}$

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19、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 i$ ，则下列关于复数 $z$ 的结论正确的是（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、 $z$ 对应的点落在第四象限 C、复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} = - 1 - i$ D、复数 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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20、已知 $△ A B C$ 中， $A B = 3, A C = 5, B C = 7, O$ 为 $△ A B C$ 外接圆的圆心， $I$ 为 $△ A B C$ 内切圆的圆心，则 $(\vec{A O} + \vec{A I}) \cdot \vec{B C} =$ （）

A、8 B、9 C、10 D、11

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