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相关试卷

1、已知 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $\sqrt{3} a sin C + c cos A - c = 0$ ．

(1)、求角 $A$ 的值．

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3} ， \vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，求线段 $A D$ 长度的最小值．

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2、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 6, A C = 2 A B = 4, ∠ B A C = 120^{\circ}$ .点 $M$ 满足 $\vec{A A_{1}} = 3 \vec{A M}$ .

(1)、过点 $M$ 作 $M H$ 垂直 $B C$ 于点 $H$ ，证明：平面 $M B C ⊥$ 平面 $A A_{1} H$ ；

(2)、求平面 $B C M$ 与平面 $B_{1} C_{1} M$ 夹角的余弦值.

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3、满足 $a^{x} = b^{y} = c^{z}$ ， $\frac{1}{x} - \frac{2}{y} + \frac{3}{z} = 0 (x, y, z \in R)$ 的有序实数组 $(a, b, c)$ 可以是（）

A、 $(4, 3, 2)$ B、 $(4, 2, 3)$ C、 $(3, 9, 2)$ D、 $(18, 12, 2)$

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4、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ，若 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ，则（）

A、 $S_{△ A C D} = 3 S_{△ A B D}$ B、 $3 \vec{A D} = 2 \vec{A B} + \vec{A C}$ C、 $\vec{C A}$ 是 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 上的投影向量 D、 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - 8$

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5、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 4 x + a = 0 (a \in R)$ 的两根在复平面 $x O y$ 上对应的点分别为 $P$ 和 $Q$ ，若 $△ P O Q$ 是等边三角形，则 $a =$ .

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6、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前n项和分别为 $S_{n}$ 、 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 4}{n + 2}$ ，则 $\frac{a_{6}}{b_{6}} =$ （）

A、 $\frac{111}{13}$ B、 $\frac{37}{13}$ C、 $\frac{111}{26}$ D、 $\frac{37}{26}$

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7、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 4$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{(n + 1) a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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8、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = 2$ ， $C D = 3$ ， $A D = \sqrt{5}$ ，点 $E$ 在线段 $C D$ 上，且 $D E = 2$ ， $A E ⊥ C D$ .将三角形 $D A E$ 沿 $A E$ 翻折至四边形 $D^{'} A E$ ，使得平面 $D^{'} A E$ 与平面 $A E C B$ 所成的二面角的大小为 $60^{\circ}$ .

(1)、证明： $B C ⊥ D^{'} A$ ；

(2)、动点 $M$ 在线段 $A B$ 上运动，当 $M$ 到平面 $D^{'} A E$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，求平面 $D^{'} A E$ 与平面 $D^{'} C M$ 的夹角的余弦值.

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9、节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} - k \ln (x + 1)$ ．

(1)、讨论 $f^{'} (x)$ 的零点个数；

(2)、当 $k = 2$ 时，证明： $f (x) > 0$ ；

(3)、若 $f (x) + \sin x - 1 \geq 0$ ，求 $k$ 的取值集合．

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $4 \sqrt{2}$ ， $C$ 上的点到两焦点的距离之和为6．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记 $C$ 的左顶点为 $M$ ，过点 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点（异于 $M$ 点）．
（i）求 $△ M A B$ 的面积的取值范围；
（ii）直线 $M A, M B$ 分别与直线 $x = 9$ 交于 $P, Q$ 两点，证明：以 $P Q$ 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．

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12、某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
时间
2025年3月
2025年4月
2025年5月
2025年6月
2025年7月
2025年8月
月份代码 $x$
1
2
3
4
5
6
销量 $y /$ 千辆
6
7
10
11
12
14

(1)、已知 $y$ 与 $x$ 线性相关，求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量；

(2)、该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为三期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为 $\frac{2}{3}$ ．该企业规定：员工至少有两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．
（Ⅰ）求甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具的概率；
（Ⅱ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训．已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润3万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润6万元，不能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润还是3万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，预计最多可以调多少人到其他部门？
参考公式：经验回归方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 238, \sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 91$ ．

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13、如图所示，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $S A B$ ， $B C ⊥$ 平面 $S A B$ ， $△ S A B$ 是等边三角形．

(1)、若 $E$ 为棱 $S D$ 上一点，直线 $A S$ 与平面 $B C E$ 交于点 $F$ ，证明： $E F //$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A D = S A = 2$ ，直线 $B D$ 与平面 $S C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，求 $B C$ 的长．

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{2} = 12, a_{n + 2} = 4 (a_{n + 1} - a_{n})$ ．

(1)、证明：存在非零实数 $k$ ，使得数列 $\{a_{n + 1} + k a_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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15、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，满足 $2 a \sin A + b \sin C = m c \sin A \sin B$ ．
（1）当 $A = \frac{2 π}{3}$ 时， $m$ 的取值范围是．
（2）当 $m$ 取得最小值时， $\tan A =$ ．

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16、已知过原点 $O$ 的直线与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 x + 8 = 0$ 交于 $M, N$ 两点，弦 $M N$ 的中点为 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为．

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 7, S_{9} = 117$ ，则 $a_{11} =$ ．

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18、已知函数 $f (x) = \frac{m}{x}$ 与 $g (x) = e^{x}$ ，则（）

A、当 $m = 3$ 时，曲线 $f (x)$ 的图象在 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - 3 x + 6$ B、若过点 $(0, a)$ 可作曲线 $g (x)$ 的两条切线，则 $a$ 的取值范围为 $(0, e)$ C、若 $x > 1$ 时， $g (x) \geq (x - 1) x f (x)$ ，则 $m$ 的取值范围为 $(- \infty, e^{2}]$ D、若曲线 $f (x)$ 与曲线 $g (x)$ 有三条公切线，则 $m$ 的取值范围是 $(- \frac{1}{e}, 0)$

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19、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 \sqrt{2} x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $O$ 为坐标原点，过点 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，分别过点 $A, B$ 作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $A^{'}, B^{'}$ ，则（）

A、以 $A B$ 为直径的圆与 $l$ 相切 B、 $△ A^{'} F B^{'}$ 为锐角三角形 C、 $A, O, B^{'}$ 三点共线 D、 ${|A^{'} F|}^{2} {|B^{'} F|}^{2} \geq 256$

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20、某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度问卷调查，在1000名用户的问卷（用户打分都在50分到100分之间）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值为代表）（）

A、 $a = 0.025$ B、由样本数据可估计1000名用户中打分在70分以下的有350人 C、估计这1000名用户问卷的得分的 $80 %$ 分位数为85 D、估计这1000名用户问卷的得分的平均数为75

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月份代码 $x$	1	2	3	4	5	6
销量 $y /$ 千辆	6	7	10	11	12	14