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相关试卷

1、已知 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ， $f (\frac{π}{3}) = 0$ ，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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2、设 $x, y \in R$ ，则“ $2^{x} > 4^{y}$ ”是“ ${log}_{2} x - {log}_{2} y > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式（）

A、 $2^{x} + 2^{- x}$ B、 $2^{x} - 2^{- x}$ C、 $\frac{1}{2^{x} + 2^{- x}}$ D、 $\frac{1}{2^{x} - 2^{- x}}$

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4、已知 $\frac{sin α - 2 cos α}{sin α + cos α} = \frac{2}{3}$ ，则 $tan α =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 4$ C、 $4$ D、 $8$

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5、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3) x^{m}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则 $m =$ （）

A、-2 B、1 C、2 D、-2或2

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6、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\sqrt{- a} < \sqrt{- b}$

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7、已知集合 $A = {x ∣ 1 < x < 5}$ ， $B = \{3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2, 3, 4, 5\}$ B、 $\{2, 3, 4\}$ C、 $\{3, 4, 5\}$ D、 $\{3, 4\}$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 1, x \leq 0 \\ x - 3, x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ .

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9、命题“ $\forall x \in R$ ， $k x^{2} - k x - \frac{3}{4} < 0$ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $k \in (- 2, 0)$ B、 $k \in (- 1, 0]$ C、 $k \in (- 3, 1)$ D、 $k \in (- 2, - 1)$

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $\forall x$ ， $y \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (\frac{x}{y}) = f (x) - f (y) + 1$ ，且 $f (\frac{1}{2}) = 2$ ，则 $f (512) =$ （）

A、 $- 6$ B、 $- 7$ C、 $- 8$ D、 $- 9$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (a - \frac{1}{2}) x - 2 a + 1, x < 1 \\ a^{x}, x \geq 1 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{4}]$ B、 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ C、 $[\frac{1}{4}, 1)$ D、 $(0, \frac{1}{2})$

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12、若不等式 $- a x^{2} + 2 a x - 3 < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[0, 3]$ C、 $[0, 3)$ D、 $(- \infty, 3]$

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13、已知 $a > b > c > 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a + c > 2 b$ B、 $b^{2} > a c$ C、 $(a - 1) (b - 1) > 0$ D、 $(a - c) a > (b - c) b$

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14、函数 $f (x) = \sqrt{x + 2} + \frac{1}{3 + x}$ 的定义域为（）

A、 $[- 2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 2]$ C、 $(- 3, + \infty)$ D、 $(- 3, - 2) \cup (- 2, + \infty)$

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15、命题“ $\exists x > 0$ ， $2 x + 5 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \leq 0$ ， $2 x + 5 > 0$ B、 $\exists x > 0$ ， $2 x + 5 > 0$ C、 $\forall x > 0$ ， $2 x + 5 \leq 0$ D、 $\forall x > 0$ ， $2 x + 5 > 0$

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16、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | x > 1\}$ ， $B = \{x | - 2 \leq x \leq 3\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup B =$ （）

A、 $[- 2, + \infty)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $(- \infty, 3]$

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17、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是菱形，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A C D = 30^{\circ}, E$ 为 $A D$ 的中点，点 $F$ 在 $P A$ 上， $A P = 3 A F$ .

(1)、证明： $P C$ $/ /$ 平面 $B E F$ ；

(2)、若 $∠ P D C = ∠ P D B$ ，且 $P D$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45^{\circ}$ ，求平面 $A E F$ 与平面 $B E F$ 夹角的余弦值.

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18、经过点 $P (0, - 1)$ 作直线 $l$ ，且直线 $l$ 与连接点 $A (1, - 2)$ ， $B (2, 1)$ 的线段总有公共点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围为 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ B、直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围为 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ C、斜率 $k$ 的取值范围为 $[- 1, 1]$ D、斜率 $k$ 的取值范围为 $(- \infty, - 1]\cup[1, + \infty)$

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19、某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光湖”内两处景点A，C之间的距离，如图，B处为码头入口，D处为码头，BD为通往码头的栈道，且 $B D = 100 m$ ，在B处测得 $∠ A B D = \frac{π}{4} ， ∠ C B D = \frac{π}{6}$ ，在D处测得 $∠ B D C = \frac{2π}{3} ， ∠ A D C = \frac{3π}{4}$ ．（A，B，C，D均处于同一测量的水平面内）

(1)、求A，C两处景点之间的距离；

(2)、栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线是否垂直？请说明理由．

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20、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} \sin x, \sqrt{2} \sin x + \cos x)$ ， $\vec{b} = (\cos x, \cos x - \sqrt{2} \sin x)$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及在区间 $[0, π]$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, m]$ 上有且只有两个零点，求m的取值范围．

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