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相关试卷

1、如图，已知二面角 $α - l - β$ 的大小为 $60^{\circ}$ ， $A \in α$ ， $B \in β$ ， $C, D \in l$ ， $A C ⊥ l, B D ⊥ l$ 且 $A C = B D = 2$ ， $C D = 4$ ，则 $A B =$ .

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2、如图，点 $P$ 是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点，则（）

A、当 $P$ 在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动时，三棱锥 $P - A A_{1} D$ 的体积为定值 $\frac{4}{3}$ B、当 $P$ 在线段 $A C$ 上运动时， $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ C、若 $F$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，当 $P$ 在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P F //$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时， $P F$ 长度的最小值是 $\sqrt{5}$ D、使直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45 °$ 的点 $P$ 的轨迹长度为 $π + 4 \sqrt{2}$

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3、数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 (a_{n} - 1)$ .

(1)、求证：数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，并求其通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ .求证： $T_{n} < \frac{1}{3}$ .

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4、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (x + 3)$ ，且 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上是增函数，则 $f (1)$ ， $f (\frac{5}{2})$ ， $f (\frac{7}{2})$ 的大小顺序是（）

A、 $f (1) < f (\frac{5}{2}) < f (\frac{7}{2})$ B、 $f (\frac{7}{2}) < f (1) < f (\frac{5}{2})$ C、 $f (\frac{5}{2}) < f (\frac{7}{2}) < f (1)$ D、 $f (\frac{7}{2}) < f (\frac{5}{2}) < f (1)$

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5、为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将 $2000$ 名师生的竞赛成绩（满分 $100$ 分）整理成如图所示的频率直方图．

(1)、求频率直方图中 $a$ 的值以及师生竞赛成绩的中位数 $;$

(2)、从竞赛成绩在 $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 的师生中，采用分层抽样的方法抽取 $6$ 人，再从抽取的 $6$ 人中随机抽取 $2$ 人，求 $2$ 人的成绩来自同一区间的概率．

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6、某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润 $y$ （单位：万元）与运转时间 $x$ （单位：年）的函数解析式为 $y = - x^{2} + 12 x - 9$ （ $x \leq 11$ ，且 $x \in N^{*}$ ）．

(1)、当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？

(2)、当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？

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7、已知关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} - 4 x + m \geq 0$ 的解集为 $R$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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8、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \vec{a}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a}$ C、 $- \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{b}$

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9、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}, A$ 为椭圆的左顶点， $B$ 为椭圆的上顶点， $F_{1}$ 为椭圆的左焦点，且 $△ A F_{1} B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设点 $P$ 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 $M$ 为直线PB与 $x$ 轴的交点，点 $N$ 在 $y$ 轴的负半轴上．若 $| O N | = \sqrt{3} |O F_{1}|$ （ $O$ 为坐标原点），且 $O P ⊥ M N$ ，求直线PB的斜率．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求证： $\frac{a_{2}}{S_{1} \cdot S_{2}} + \frac{a_{3}}{S_{2} \cdot S_{3}} + \frac{a_{4}}{S_{3} \cdot S_{4}} + \dots + \frac{a_{n}}{S_{n - 1} \cdot S_{n}} + \frac{a_{n + 1}}{S_{n} \cdot S_{n + 1}} < 1 (n \in N^{*})$ ；

(3)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 2, b_{n} = b_{n - 1} + (3 n - 2) \cdot a_{n + 1} (n \geq 2)$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的通项公式．

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11、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}, A A_{1} = 3, A C = B C = 2$ ， $E$ 是棱BC的中点.

(1)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 $A C_{1} E$ ；

(2)、求平面 $A C_{1} E$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值；

(3)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A C_{1} E$ 的距离.

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12、已知直线 $l_{1} : x + y - 1 = 0, l_{2} : 2 x - y - 8 = 0$ ．圆心为 $(2, 1)$ 的圆 $C$ 经过 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的交点．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、经过点 $(0, - 2)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 交于M，N两点，且 $| M N | = 2 \sqrt{6}$ ，求 $l$ 的方程

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13、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{2} = 6, a_{3} + a_{5} = 24. \{b_{n}\}$ 为等比数列，且 $b_{2} = 4$ ， $b_{3} = a_{3} - 1$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．

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14、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，离心率为 $e$ ，直线 $l : y = x$ 与双曲线交于A，B两点，且 $A F ⊥ B F$ ，则 $e^{2} =$ ．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} + 1 (n \in N^{*}), a_{2} = 2$ ．设 $b_{n} = \{\begin{array}{l} \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 2}} & , n 为奇数时 \\ a_{n} & , n 为偶数时 \end{array}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前10项和为．

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16、已知 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，若 $△ P O F$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ （ $O$ 为坐标原点），则 $| P F | =$ ．

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17、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = 0$ 关于直线 $y = x$ 对称的圆 $C_{2}$ 的方程为．

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18、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为它的前 $n$ 项和，若 $S_{9} = 18$ ，则 $a_{2} + a_{8} =$ ．

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19、已知 $x, y \in R, \vec{a} = (2, x, - 4)$ 与 $\vec{b} = (6, 18, y)$ 共线，则 $x - y =$ ．

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20、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为A，B，点 $P$ 在椭圆上（异于 $A, B)$ ，设直线AP的斜率为 $k_{1}$ ，直线BP的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} \cdot k_{2} \leq - \frac{1}{2}$ ，则椭圆的离心率的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{2}, 1)$

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