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相关试卷

1、（1）若 $\sin 3 x = \sin x (p \cos^{2} x + q)$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，求 $p + q$ 的值；
（2）求 $f (x) = \frac{\sin 5 x}{\sin x}$ 的值域；
（3）正五棱锥的所有棱长均为 $2$ ，求此正五棱锥的表面积．

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2、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的菱形， $P D = P B = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， E为 $P A$ 中点， $A C$ 与 $B D$ 交点为O．

(1)、求证： $P C / /$ 平面 $E B D$ ；

(2)、求证：平面 $E B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(3)、若 $P A = P C$ ，求点C到平面 $A B E$ 的距离．

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3、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\frac{\cos B}{\cos C} + \frac{b}{c} = \frac{2 a}{c}$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、设D是 $A B$ 上一点，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D A}$ ， $|C D| = 1$ ，且 $2 \sin B = 3 \sin A$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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4、如图，边长为6的正 $△ A B C$ 中，点D在边 $A C$ 上，且 $|A D| = 2 |D C|$ ，点M在线段 $B D$ 上．

(1)、若 $\vec{B D} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，求 $m + n$ 的值；

(2)、若 $\vec{A M} = x \vec{A B} + 2 x \vec{A C}$ ，求x及 $\cos ∠ A M C$ 的值．

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5、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + \cos^{2} ω x - \frac{1}{2}$ ，其中 $ω > 0$ ，且函数 $f (x)$ 的图象的对称中心与对称轴的距离的最小值为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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6、欧拉公式： $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （i是虚数单位， $x \in R$ ）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，可求出 $|e^{i x} - 1|$ 的最大值为．

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7、 $△ A B C$ 的内心为P，外心为O，重心为G，若 $|A B| = |A C| = 5$ ， $|B C| = 6$ ，下列结论正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的内切圆半径为 $r = \frac{3}{2}$ B、 $6 \vec{P A} + 5 \vec{P B} + 5 \vec{P C} = \vec{0}$ C、 $6 \vec{O A} + 5 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ D、 $|O G| = \frac{11}{24}$

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8、下列命题正确的是（）

A、一个三棱锥被过三条侧棱的中点的平面所截，截得的两部分为一个三棱台和一个小三棱锥，则此三棱台与小三棱锥的体积比为7 B、圆锥被过其顶点的某平面所截，截面形状为一个三角形，若圆锥的底面半径 $r = 8$ ，高 $h = 6$ ，则截面三角形面积的最大值为48 C、圆锥被过其顶点的某平面所截，截面形状为一个三角形，若圆锥的底面半径 $r = 6$ ，高 $h = 8$ ，则截面三角形面积的最大值为48 D、若一个平行六面体被某平面所截，所得截面形状为四边形，则此四边形至少有一组对边互相平行

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9、设 $z, z_{1}, z_{2}$ 都是复数，i是虚数单位，则下列结论中一定成立的是（）

A、方程 $z^{2} - 3 z + 5 = 0$ 无复数解 B、若 $3 z - \bar{z} = 6 + 8 i$ ，则 $z = 3 + 2 i$ C、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$ D、 $z^{2} = {|z|}^{2}$

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10、四面体 $A B C D$ 中，若 $D A = D B = D C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 3$ ， $∠ B A C = \frac{5 π}{6}$ ，则此四面体的外接球的表面积为（）

A、 $48 π$ B、 $16 π$ C、 $12 π$ D、 $4 π$

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11、八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A O}$ 的值为（）

A、14 B、12 C、10 D、8

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12、 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $B D ⊥ B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $B D = 1$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、6 D、3

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13、在直角坐标平面内，已知 $A (0, - 1)$ ， $B (- 4, - 1)$ ， $C (- 4, 4)$ ， $D (0, 1)$ ，以y轴为旋转轴，将四边形ABCD旋转一周，得一个旋转体，则此旋转体的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $36 π$ C、 $76 π$ D、 $96 π$

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14、在正四棱锥 $P - A B C D$ 的所有棱长均相等，E为 $P C$ 的中点，则异面直线 $B E$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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15、将函数 $f (x) = \sin x$ 图象上的所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再将图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 后得函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的解析式为（）

A、 $g (x) = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6})$ B、 $g (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$

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16、在直角坐标平面内， $△ A B C$ 的三顶点的坐标分别为 $A (- 1, - 1)$ ， $B (- 7, 2)$ ， $C (3, 7)$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、120 B、60 C、30 D、15

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17、已知复数z满足： $(1 + i^{2024}) z = 2 + 3 i$ （i为虚数单位），则z为（）

A、 $1 - \frac{3}{2} i$ B、 $1 + \frac{3}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{5}{2} i$ D、 $\frac{5}{2} + \frac{1}{2} i$

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18、已知函数 $f (x) = a x^{2} + \ln x, g (x) = 2 x + \frac{a}{2} \ln x$ .

(1)、若 $f (x) \geq g (x)$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、记 $f (x)$ 的零点为 $x_{1}, x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ）， $g (x)$ 的极值点为 $x_{0}$ ，证明： $\frac{x_{1}}{x_{2}} > 4 e x_{0}$ .

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19、某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式一回答问卷，否则按方式二回答问卷”.
方式一：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式二：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”.
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度 $= \frac{企业所有对新绩效方案满意的员工人数}{企业所有员工人数} \times 100 %$ .

(1)、求每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率

(2)、若该企业某部门有9名员工，用 $X$ 表示其中按方式一回答问卷的人数，求 $X$ 的数学期望；

(3)、若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为 $4 : 5$ ，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度.

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20、已知函数 $f (x) = 2 \ln x + a x^{2} - 4 a x + 3 a (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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