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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- 1, 1)$ 上的奇函数，当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x) = 2^{x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的值域；

(3)、若不等式 $f (2 a) + f (1 - a) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} - 1}{4^{x} + 1}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域和值域；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 的奇偶性.

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3、围建一个面积为360 $m^{2}$ 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

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4、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3}$ 的定义域为 $A$ ，函数 $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ， $(- 1 \leq x \leq 0)$ 的值域为 $B$ .

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $C = \{x| a \leq x \leq 2 a - 1\}$ ，且 $C \subseteq B$ ，求 $a$ 的取值范围.

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5、已知函数 $y = a x^{2} - 2 x - 1$ 在 $(- \infty, 1)$ 上是减函数，则 $a$ 的取值范围是.

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6、命题“ $\forall x \in N$ ， $x^{3} > x^{2}$ ”的否定是.

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7、求值 ${(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} + {(- 1)}^{0} + {({(- 2)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} =$ .

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8、给出定义：若 $m - \frac{1}{2} < x \leq m + \frac{1}{2}$ （其中 $m$ 为整数），则 $m$ 叫做离实数 $x$ 最近的整数，记作 $\{x\}$ ，即 $\{x\} = m$ .在此基础上给出下列关于函数 $f (x) = |x - \{x\}|$ ， $x \in R$ 的四个结论，其中正确的是（）

A、 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ B、 $f (3.4) = 3.4$ C、 $f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$ D、 $f (x) \in [0, \frac{1}{2}]$

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9、已知集合 $A = \{x \in R| x^{2} - 3 x - 18 < 0\}$ ， $B = \{x \in R| x^{2} + a x + a^{2} - 27 < 0\}$ ，则下列命题中正确的是（）

A、若 $A \subseteq B$ ，则 $a = - 3$ B、若 $A = B$ ，则 $a = - 3$ C、若 $a = 3$ ，则 $A \cap B = \{x| - 3 < x < 5\}$ D、若 $B = \emptyset$ ，则 $a \leq - 6$ 或 $a \geq 6$

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10、设函数 $f (x) = x^{2} - (k^{2} + 3) x + 7$ ， $(k \in R)$ ，已知对于任意的 $k \in [0, 2]$ ，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} \in [k, k + a]$ ， $x_{2} \in [k + 2 a, k + 4 a]$ ，有 $f (x_{1}) \geq f (x_{2})$ ，则正实数 $a$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、1

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11、已知函数 $f (x)$ 是定义 $(0, + \infty)$ 在上的单调函数，若对 $\forall x \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (f (x) - 2^{x})$ $= 6$ ，则不等式的 $f (x) < 6$ 解集为（）

A、 $(2, 4)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(0, 1)$

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12、已知函数 $y = f (x + 2)$ 是偶函数， $y = f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上是单调减函数，则（）

A、 $f (2) < f (- 1) < f (3)$ B、 $f (3) < f (- 1) < f (2)$ C、 $f (- 1) < f (2) < f (3)$ D、 $f (- 1) < f (3) < f (2)$

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13、 $a$ ， $b \in R$ ，记 $\min \{a, b\} = \{\begin{array}{l} a, a \leq b \\ b, a > b \end{array}$ ，函数 $f (x) = \min \{2 - x^{2}, x\}$ $(x \in R)$ 的最大值（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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14、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）

A、 $y = - |x| + 1$ $(x \in R)$ B、 $y = - x^{3} (x \in R)$ C、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x} (x \in R)$ D、 $y = - \frac{1}{x}$ （ $x \in R$ ，且 $x \neq 0$ ）

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15、已知正三棱锥 $A - B C D$ 的外接球为球 $O, A B = 6, B C = 3 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 为 $B D$ 的中点，过点 $E$ 作球 $O$ 的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（）

A、 $[\frac{21}{4} π, 12 π]$ B、 $[\frac{27}{4} π, 12 π]$ C、 $[21 π, 48 π]$ D、 $[27 π, 48 π]$

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16、已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + 3 - a$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 过点 $P (2, 6)$ ，求 $f (x)$ 解析式；

(2)、若 $y = f (x)$ ．
（ⅰ）当 $x \in [- 1, 3]$ 函数 $f (x)$ 不单调，求a的取值范围；
（ⅱ）当 $x \in [0,2]$ 函数 $f (x)$ 的最小值是关于a的函数 $m (a)$ ，求 $m (a)$ 表达式

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17、“ $x < 0$ ”是“ $ln (x + 1) < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、设 $f (x) = x - a \ln x$ ， $a \in R$ .
(1)当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
(2)记函数 $g (x) = f (x) - \frac{a - 1}{x}$ ，若当 $x = 1$ 时，函数 $g (x)$ 有极大值，求 $a$ 的取值范围.

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19、某学校高一 $100$ 名学生参加数学竞赛，成绩均在 $40$ 分到 $100$ 分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：
（1）估计这 $100$ 名学生分数的中位数与平均数；（精确到 $0.1$ ）
（2）某老师抽取了 $10$ 名学生的分数： $x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{10}$ ，已知这 $10$ 个分数的平均数 $\bar{x} = 90$ ，标准差 $s = 6$ ，若剔除其中的 $100$ 和 $80$ 两个分数，求剩余 $8$ 个分数的平均数与标准差.（参考公式： $s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}{n}}$ ）
（3）该学校有 $3$ 座构造相同教学楼，各教学楼高均为 $20$ 米，东西长均为 $60$ 米，南北宽均为 $20$ 米.其中 $1$ 号教学楼在 $2$ 号教学楼的正南且楼距为 $40$ 米， $3$ 号教学楼在 $2$ 号教学楼的正东且楼距为 $72$ 米.现有 $3$ 种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为 $35, 55, 105$ 米，每个售价相应依次为 $1500, 2000, 4000$ 元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为 $100$ 元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.（参考数据： $210^{2} = 44100, 192^{2} = 36864, 110^{2} = 12100$ ）

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 1$ ， $∠ A C B = 120 °$ ， $A A_{1} = A_{1} B = 2$ ， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ．
（1）证明：平面 $A B C$ ⊥平面 $A_{1} A C C_{1}$ ．
（2）若 $P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，求 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B P$ 的距离．

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