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相关试卷

1、若 $1 < 10^{a} < 10^{b} < 10$ ，则（）

A、 $4^{a} + 5^{- b} < 4^{b} + 5^{- a}$ B、 $ln \frac{a}{b} > sin b - sin a$ C、 ${(cos a)}^{a} > {(cos b)}^{b}$ D、 $a lg b > b lg a$

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |{log}_{2} x|, 0 < x < 2 \\ sin (\frac{π}{4} x), 2 \leq x \leq 10 \end{array}$ ，若存在 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ， $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ 的值可以为（）．

A、20 B、24 C、28 D、32

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3、关于 $△ A B C$ ，下列说法正确的是（）．

A、若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 B、若 $△ A B C$ 为非直角三角形，则 $tan A tan B tan C = tan A + tan B + tan C$ C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $sin A > cos B$ 恒成立 D、若 $sin A + cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形

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4、已知函数 $f (x) = 4 sin ω x \cdot {sin}^{2} (\frac{ω x}{2} + \frac{π}{4}) + 2 {cos}^{2} ω x (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}]$ 上是增函数，且在 $[0, π]$ 上恰好取得一次最大值，则 $ω$ 的取值范围是（）．

A、 $(0, \frac{3}{4}]$ B、 $[\frac{3}{4}, \frac{5}{2})$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$

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5、函数 $f (x) = π + (x - π) sin x$ 在区间 $[- \frac{5 π}{2}, \frac{9 π}{2}]$ 上所有零点之和为（）．

A、 $2 π$ B、 $4 π$ C、 $6 π$ D、 $8 π$

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6、已知函数 $f (x) = lg (\sqrt{9 x^{2} + 1} - 3 x) + 1$ ，正实数 $a, b$ 满足 $f (2 a) + f (b - 4) = 2$ ，则 $\frac{4 b}{a} + \frac{a}{2 a b + b^{2}}$ 的最小值为（）．

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳的一处标志性景点．已知某摩天轮最高点距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要30min，若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为（）．

A、 $30 (\sqrt{3} - 1)$ 米 B、 $30 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 米 C、 $20 \sqrt{3}$ 米 D、 $30 \sqrt{3}$ 米

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8、声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数 $y = A sin ω t$ .音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数 $y = A sin ω t$ 中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是 $f (x) = sin x + \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{3} sin 3 x + \frac{1}{4} sin 4 x + \dots$ ，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（）.

A、函数 $f (x) = sin x + \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{3} sin 3 x + \frac{1}{4} sin 4 x + \dots + \frac{1}{100} sin 100 x$ 具有奇偶性 B、函数 $f (x) = sin x + \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{3} sin 3 x + \frac{1}{4} sin 4 x$ 在区间 $[- \frac{π}{8}, \frac{π}{8}]$ 上单调递增 C、若声音甲对应函数近似为 $f (x) = sin x + \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{3} sin 3 x + \frac{1}{4} sin 4 x$ ，则声音甲的响度不一定比纯音 $h (x) = \frac{1}{2} sin 2 x$ 的响度大 D、若某声音乙对应函数近似为 $g (x) = sin x + \frac{1}{2} sin 2 x$ ，则声音乙一定比纯音 $h (x) = \frac{1}{2} sin 3 x$ 更低沉

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9、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）．

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 B、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到的图象关于原点对称 C、方程 $f (x) = \sqrt{3}$ 在区间 $[0, 2 π]$ 有5个不等实根 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2}]$ 上单调递增

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10、 $α$ 是第四象限角， $cos α = \frac{3}{5}$ ，则 $cos (α - \frac{3 π}{2}) =$ （）．

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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11、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{9} + a_{8} = 55$ ，则 $S_{16} =$ （）

A、880 B、440 C、110 D、220

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12、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (b - a, c), \vec{n} = (sin B - sin C, sin A + sin B)$ ，且 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为2，且 $cos B cos C = - \frac{1}{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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13、如图，由函数 $y = e^{x} - e + 1$ 与 $y = ln (x + e - 1)$ 的部分图象可得一条封闭曲线 $Γ$ ，则（）

A、 $Γ$ 有对称轴 B、 $Γ$ 的弦长的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、直线 $x + y = t$ 被 $Γ$ 截得弦长的最大值为 $\sqrt{2} (e - 2)$ D、 $Γ$ 的面积大于 $2 e - 4$

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14、已知圆锥的母线长为13，侧面积为 $65 π$ ，则该圆锥的内切球的表面积为（）

A、 $\frac{100 π}{9}$ B、 $\frac{4000 π}{81}$ C、 $\frac{400 π}{9}$ D、 $\frac{1000 π}{81}$

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15、若向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (3, 4)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{6}{5}, \frac{8}{5})$ B、 $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

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16、如图，点 $P, Q$ 分别是矩形 $A B C D$ 的边 $D C, B C$ 上的两点， $A B = 3$ ， $A D = 2$ .

(1)、若 $P$ 、 $Q$ 分别为 $C D$ 、 $B C$ 的中点，求 $cos ∠ P A Q$ ；

(2)、若 $\vec{D P} = λ \vec{D C}, \vec{C Q} = λ \vec{C B}, 0 \leq λ \leq 1$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的范围；

(3)、若 $\vec{D P} = 2 \vec{P C}$ ，连接 $A P$ 交 $B C$ 的延长线于点 $T, Q$ 为 $B C$ 的中点，试探究线段 $A B$ 上是否存在一点 $H$ ，使得 $∠ T H Q$ 最大.若存在，求 $B H$ 的长；若不存在，说明理由.

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} a - 2 c = 2 b cos (B + C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $6 + 2 \sqrt{3}$ ，且 $2 a = \sqrt{3} c$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) + 2 \cos x$ .

(1)、若 $f (x_{0}) = \frac{1}{2}$ ， $x_{0} \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $\sin x_{0}$ 的值；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上的值域.

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19、为绘制海底地貌图，测量海底两点 $C$ ， $D$ 间的距离，海底探测仪沿水平方向在 $A$ ， $B$ 两点进行测量， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得 $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ D A C = 45 °$ ， $∠ A B D = 45 °$ ， $∠ D B C = 75 °$ ，同时测得 $A B = \sqrt{3}$ 海里.

(1)、求 $A D$ 的长度；

(2)、求 $C$ ， $D$ 之间的距离.

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20、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ．

(1)、求 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{b} + k \vec{a}$ 与 $\vec{b} - k \vec{a}$ 相互垂直，求实数k的值．

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