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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c = \sqrt{2}$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $B = \frac{π}{4}$ ， $1 < b < \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 有两解 B、若 $B \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $b > \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 无解 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $B = 2 C$ ，则 $C \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ D、若 $A + B = 2 C$ ，则 $a + b$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$

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2、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点， $P$ 为 $A D_{1}$ 与 $A_{1} D$ 的交点， $A B = 4$ ， $B C = B B_{1} = 2$ ，四面体 $P - M N C$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $9 π$ B、 $18 π$ C、 $24 π$ D、 $27 π$

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3、如图所示，已知点G是 $△ A B C$ 的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设 $\vec{A M} = x \vec{A B}, \vec{A N} = y \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，则平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、9 D、18

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5、四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为 $40 c m, 20 c m$ ，高为 $24 c m$ ），则四羊方尊的容积约为（　　）

A、 $22400 {c m}^{3}$ B、 $32400 {c m}^{3}$ C、 $44800 {c m}^{3}$ D、 $67200 {c m}^{3}$

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6、△ABC中， $\frac{\cos A}{\cos B} = \frac{a}{b}$ ，则△ABC一定是

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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7、已知底面半径为 $2$ 的圆锥的体积为 $8 π$ ，则圆锥的高为（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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8、已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2}$ ，若 $g (x) = f (x + a) - b$ 为奇函数，则（）

A、 $a = 2$ ， $b = 16$ B、 $a = - 2$ ， $b = - 16$ C、 $a = - 2$ ， $b = 16$ D、 $a = 2$ ， $b = - 16$

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9、在复数范围内，方程 $(x + 4) (x^{2} + 4) = 0$ 的解集为．

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10、在高为3的正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 4$ ，且上底面的面积为 $\sqrt{3}$ ，则（）

A、直线 $A A_{1}$ 与 $C C_{1}$ 异面 B、直线 $A B$ 与 $B_{1} C_{1}$ 异面 C、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $7 \sqrt{3}$ D、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $8 \sqrt{3}$

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11、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 表示水平放置的 $△ O A B$ 根据斜二测画法得到的直观图， $O^{'} A^{'}$ 在 $x^{'}$ 轴上， $A^{'} B^{'}$ 与 $x^{'}$ 轴垂直，且 $O^{'} A^{'} = \sqrt{2}$ ，则 $△ O A B$ 中 $O A$ 边上的高为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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12、设函数 $f (x) = (e^{x} - m) ln (x + n)$ ，若 $f (x) \geq 0$ ，则 $m + n$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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13、葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上，中，下三个几何体的高度之比为 $3 : 4 : 5$ ，且总高度为 $24 cm$ ，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（）（ $π \approx 3$ ）

A、 $244 {cm}^{3}$ B、 $108 {cm}^{3}$ C、 $432 {cm}^{3}$ D、 $1952 {cm}^{3}$

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14、已知 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，且 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\vec{b}$ B、 $- \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ D、 $- \vec{a}$

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15、若 $\frac{z + 2}{z} = i$ ，则 $z (z + 2 i) =$ （）

A、 $2 i$ B、2 C、 $- 1 + 3 i$ D、 $1 - 3 i$

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16、定义集合运算： $A \oplus B = \{(x, y)| \frac{x}{2} \in A, \frac{2}{y} \in B\}$ .若集合 $A = B = \{x \in N |1 < x < 4\}$ ， $C = \{(x, y) |y = - \frac{1}{6} x + \frac{5}{3}\}$ ，则 $(A \oplus B) \cap C =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{(4, 1)\}$ C、 $\{(1, \frac{3}{2})\}$ D、 $\{(4, 1), (6, \frac{2}{3})\}$

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17、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{a x}{e^{x}}$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，记函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，求 $f^{'} (0)$ 的值.

(2)、当 $a = 1$ ， $x \geq 1$ 时，证明： $f (x) > \frac{3}{2} cos x$ .

(3)、当 $a \geq 2$ 时，令 $g (x) = e^{x} [a + 1 - f (x)]$ ， $g (x)$ 的图象在 $x = m$ ， $x = n (m < n)$ 处切线的斜率相同，记 $g (m) + g (n)$ 的最小值为 $h (a)$ ，求 $h (a)$ 的最小值.
（注： $e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数）.

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18、某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
性别
速度
合计
快
慢
男生
65
女生
55
合计
110
200

(1)、根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？

(2)、现有n $(n \in N^{*})$ 根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.
（i）当 $n = 3$ ，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；
（ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为 $\frac{2^{2 n - 1} \cdot n! (n - 1)!}{(2 n)!} .$
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d .$
$P (K^{2} \geq k)$
0.100
0.050
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD， $P A = P D = \sqrt{5}$ ，点E是线段AD的中点， $\vec{C M} = 2 \vec{M P}$ .

(1)、证明： $P E$ //平面BDM；

(2)、求平面AMB与平面BDM的夹角.

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20、某中学的A､B两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有种不同的排课方式.（用数字作答）

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性别	速度		合计
性别	快	慢	合计
男生	65
女生		55
合计	110		200

$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.025	0.010
k	2.706	3.841	5.024	6.635