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相关试卷

1、已知 $z = \frac{2 - i}{1 + 2 i}$ ，则 $|z - 1| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2、已知集合 $A = \{x | \log_{2} (x - 2) \leq 1\}$ ， $B = \{x | 2 x - a \leq 0\}$ ，且 $A \cap B = \{x |2 < x \leq 3\}$ ，则 $a =$ （）

A、6 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 6$

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3、已知点 $A (1, 3), B (4, - 1),$ 则与 $\vec{A B}$ 同方向的单位向量为

A、 $(\frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{4}{5} ， - \frac{3}{5})$ C、 $(- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ D、 $(- \frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$

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4、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2}$ $= a^{2}$ 相切于点 $M$ ，且直线 $l$ 与双曲线 $E$ 及其渐近线在第二象限的交点分别为 $P, Q$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $O M$ 是 $E$ 的一条渐近线 B、若 $|M F_{1}| = 3 |O M|$ ，则 $E$ 的渐近线方程为 $y = \pm x$ C、若 $|Q F_{2}| = 3 |M F_{2}|$ ，则 $E$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ D、若 $|P F_{2}| = 3 |M F_{2}|$ ，则 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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5、已知函数 $f (x) = {log}_{2} [(a - 2) x + \frac{a}{x}]$ 和 $g (x) = {log}_{2} [x + (2 a - 3)]$ ，且 $a \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$ ，求实数 $a$ 的值．

(2)、若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图像有且仅有一个交点，求实数 $a$ 的取值范围．

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6、某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料 $x$ 千克时，这种果树的单株产量 $W (x) = \{\begin{array}{l} 2 (x^{2} + 17), 0 \leq x \leq 2 \\ 50 - \frac{8}{x - 1}, 2 < x \leq 5 \end{array}$ （单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为 $(20 x + 10)$ 元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？

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7、已知函数 $f (x) = (a^{x} - 5) (a^{x} - 3), (a > 0, a \neq 1)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值

(2)、当且仅当 $x = 2$ 时， $f (x)$ 取得最小值，求 $f (x)$ 在 $x \in [- 1, 3]$ 的值域

(3)、若 $a = 3$ ，对 $\forall x \in [1, 2], f (x) \geq m \cdot 3^{x} - 1$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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8、设函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ．

(1)、用定义证明： $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增；

(2)、设 $x > 1$ ，求不等式 $f ({log}_{2} x) > \frac{3}{2}$ 的解集．

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9、已知集合 $A = \{x |\frac{1}{4} < 2^{x} < 2\}, B = \{x| (x - 1) (a x - 2) < 0\}$ .

(1)、当 $a = - 2$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、当 $a > 0$ ，且 $A \cap B = \emptyset$ 时，求实数 $a$ 的取值范围．

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10、若 $α + 2^{α - 1} = 5, β + {log}_{2} β = 4$ ，则 $α + β =$ ．

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11、已知 $y = ln (\frac{a}{x + 1} + 1)$ 为奇函数，则实数 $a$ 的值是．

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12、设不等式 $\frac{x + 2}{x + 1} > 2$ 的解集为 $(a, b)$ ，则 $b - a =$ ．

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13、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $b = 1 - \frac{1}{a}$ ，则（）

A、 $\frac{b}{a}$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{a^{2}} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{a}{2} - b$ 的最小值为 $\sqrt{2} - 1$ D、 $a + \frac{1}{b}$ 的最小值为4

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14、下列选项正确的是（）

A、 $sin (x + \frac{2025}{2} π) = cos x$ B、 $\exists α \in R$ ，使 ${sin}^{3} α + {cos}^{3} α > 1$ C、若 $sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}, x \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，则 $cos (\frac{2}{3} π - x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、曲线 $y = sin x$ 与 $y = 2 cos x$ 在 $x \in (- \frac{2}{3} π, \frac{2}{3} π)$ 有6个交点

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15、下列关于角 $α$ 的说法中，正确的为（）

A、若 $α$ 的终边在 $y$ 轴上，则 $α = k π, k \in Z$ B、若 $α$ 是第二象限角，则 $\frac{α}{2}$ 不是第二象限角 C、若 $tan α = 3$ ，则 $sin α = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、若扇形的圆心角为 $α$ ，半径为2，则该扇形的面积为 $2 α$

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16、已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 4^{x} + 2 x - 1$ ，若 $f (x) = - f (x + 2)$ 恒成立，则函数 $g (x) = f (x) - x + 1$ 的零点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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17、已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ 下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在 $x \in [k π - \frac{π}{3}, k π + \frac{π}{6}], (k \in Z)$ 上单调递减 C、当 $x = k π + \frac{π}{6}, (k \in Z)$ 时， $f (x)$ 取得最大值 D、 $f (\frac{π}{2}) > f (\frac{π}{12})$

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18、“ $y = {log}_{(m - 1)} x$ 在定义域内是增函数”是“函数 $f (x) = (m^{2} - 7 m + 13) x^{m}$ 是幂函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知 $a = e^{- 1}, b = {log}_{2} \sqrt{2}, c = x^{2} - x + 1, (x \in R)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $a < c < b$

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20、记函数 $f (x) = {log}_{2} x - \frac{3}{x}$ 的零点为 $x_{0}$ ，则 $x_{0} \in$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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