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相关试卷

1、已知实数x，y满足 $2 x = {(\frac{4}{3})}^{\log_{2} x} - 3^{1 + \log_{2}^{x}}, 3 y = {(\frac{4}{3})}^{\log_{3} y} - 2^{1 + \log_{3} y}$ ，则 $\frac{x}{y} =$ ．

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2、已知 $A B \subset$ 平面 $α, A C ⊥$ 平面 $α, B D ⊥ A B, B D$ 与平面 $α$ 所成的角为 $30 °$ ，且 $C$ ， $D$ 两点在平面 $α$ 的同一侧， $B D = A B = 2, A C = 3$ ，则 $C D =$ ．

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3、已知函数 $f (x) = (x + a) \ln x$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线斜率为 $3$ ，则实数 $a =$ ．

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4、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}^{2} - 1}{3 a_{n} - 5}$ 且 $a_{1}^{4} - k a_{1}^{3} - k a_{1} - 1 = 0$ ，则下列说法正确的（）

A、若 $k = \frac{3}{2}$ ，则 $a_{2024} = 3$ B、若 $a_{2024} = 3$ ，则 $k = \frac{3}{2}$ C、若 $k = \frac{8}{3}$ ，则 $a_{2 n + 1} = a_{1}$ D、若 $a_{2 n + 1} = a_{1}$ ，则 $k = \frac{8}{3}$ 或 $\frac{3}{2}$

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5、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为棱 $B B_{1}, C C_{1}$ 的中点，G是棱 $B_{1} C_{1}$ 上的一个动点，则下列说法正确的是（）

A、平面 $A E F$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面为六边形 B、点G到平面 $A E F$ 的距离为定值 C、若 $\vec{A_{1} G} = x \vec{A_{1} A} + y \vec{A_{1} E} + z \vec{A_{1} D_{1}}$ ，且 $x + y + z = 1$ ，则G为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点 D、直线 $A G$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{15}}{15}, \frac{\sqrt{10}}{10}]$

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6、已知随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ ，记 $P (X > - 1) = a, P (1 < X < 3) = b$ ，则（）

A、 $P (X < 3) = a$ B、 $a - b = \frac{1}{2}$ C、 $E (2 X - 1) = 2 E (X)$ D、 $D (2 X - 1) = 4 D (X)$

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7、过抛物线 $y^{2} = 2 x$ 上一动点P作圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ （r为常数且 $r \in N^{*}$ ）的两条切线，切点分别为A，B，若 $|A B| \cdot |P C|$ 的最小值是 $4 \sqrt{3}$ ，则 $r =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8、已知函数 $f (x) = \sin^{2} ω x + \cos^{4} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为10，则 $f (\frac{5}{2}) =$ （）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、1

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9、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2022}, S_{2024}, S_{2026} - 8$ 成等差数列， $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 成等比数列，则 $S_{30} =$ （）

A、900 B、600 C、450 D、300

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10、已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 均为单位向量，且 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = \frac{2 π}{3}, 〈 \vec{a} + \vec{b}, \vec{c} 〉 = \frac{π}{3}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} + t \vec{c} | (t \in R)$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11、 $A, B, C$ 三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，某中学有四名学生报名参加．若每名学生只能报一所大学，每所大学都有该中学的学生报名，且 $A$ 大学只有其中一名学生报名，则不同的报名方法共有（）

A、18种 B、21种 C、24种 D、36种

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12、已知 $f (x) = \frac{e^{x} \cos x}{e^{2 x} + a}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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13、若复数 $z$ 满足 $\frac{z}{1 + 2 i} = 1 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $1 + 3 i$ C、 $1 + i$ D、 $3 + i$

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14、已知集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1}, B = \{x | 2^{x} \leq \frac{1}{2}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${- 2, - 1}$ C、 ${1}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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15、 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x)$ 满足对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} - x_{2} \in M$ 时，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) \in M$ ，则称 $f (x)$ 是 $M$ 连续的.

(1)、请写出一个是 $\{1\}$ 连续的函数 $f (x)$ （不必说明理由）；

(2)、证明：若 $f (x)$ 是 $[2, 3]$ 连续的，则 $f (x)$ 是 $\{2\}$ 连续且是 $\{1\}$ 连续的；

(3)、当 $x \in [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 时， $f (x) = a x^{3} + \frac{1}{2} b x + 1$ （ $a$ ， $b \in N$ ），且 $f (x)$ 是 $[2, 3]$ 连续的，求 $a$ ， $b$ 的值.

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16、已知函数 $f (x) = - \ln x + (2 + a) x - 2$ .

(1)、若 $f^{'} (1) = 1$ ，求 $a$ 的值；

(2)、设 $a > - 2$ ，求函数 $f (x)$ 的极值；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ 上无零点，求 $a$ 的取值范围.

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = S_{n} + 2 a_{n} + 5$ .
（1）证明： $\{a_{n} + 5\}$ 是等比数列；
（2）若 $S_{n} + 5 n > 128$ ，求 $n$ 的最小值.

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18、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值.

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19、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的可导函数，其导函数为 $g (x)$ ，若函数 $y = f (x + 2) - 1$ 是奇函数，函数 $y = g (x + 1)$ 是偶函数，则（）

A、 $f (2) = 1$ B、 $g (2) = 1$ C、函数 $y = f (x) - 1$ 是奇函数 D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 1012$

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20、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，现有如下四个命题：
甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ；
乙：该函数图象可以由 $y = \cos 2 x - \sqrt{3} \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到；
丙：该函数在区间 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{6})$ 上单调递增；
丁：该函数满足 $f (\frac{π}{3} + x) + f (\frac{π}{3} - x) = 0$ ．
如果只有一个假命题，那么该命题是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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