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相关试卷

1、已知正方形 $A B C D$ 的边长为1，设点M、N满足 $\overset{⃑}{A M} = λ \overset{⃑}{A B}$ ， $\overset{⃑}{A N} = μ \overset{⃑}{A D}$ .若 $\overset{⃑}{C M} \cdot \overset{⃑}{C N} = 1$ ，则 $λ^{2} + 2 µ^{2}$ 的最小值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2、已知集合 $A = \{x \in N^{*} ∣ x^{2} - 5 x \leq 0\}, B = {x \in Z ∣ |x - 1| < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ， $(a - 2 c) \cos B + b \cos A = 0$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $a = 2, b = \sqrt{19}$ ，且 $B A, C A$ 边上的两条中线 $C M, B N$ 相交于点G，求 $∠ M G N$ 的余弦值；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c > a$ ，记 $△ A B C$ 的外心和垂心分别为 $O, H$ ，连接 $O H$ 的直线与线段 $A B, B C$ 都相交，求证：线段 $O H$ 的长度为 $c - a$ ．

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4、鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度 $x$ （单位：摄氏度）与保鲜时间 $t$ （单位：小时）之间的函数关系式为 $t (x) = e^{a x + b}$ ．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时．

(1)、新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；

(2)、已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）
参考数据： $\lg 2 \approx 0.30, \lg 3 \approx 0.48$

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5、已知函数 $f (x) = x^{2} - \sqrt{a + b} \cdot x + a b (a, b \in R^{+})$

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(\frac{1}{2}, 1)$ ，求a，b的值

(2)、若方程 $f (x) = 0$ 仅有一个实数解，求 $a + 4 b$ 的最小值.

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6、已知 $△$ ABC的顶点 $A (5, 1)$ ， AB边上的中线CM所在直线方程为 $2 x - y - 5 = 0$ ， AC的边上的高BH所在直线方程为 $x - 2 y - 5 = 0$ ．

(1)、求顶点C的坐标；

(2)、求直线BC的方程．

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7、已知曲线 $y = a^{x - 1} + 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 过定点 $(k, b)$ ，若 $m + n = b - k$ 且 $m > 0, n > 0$ ，则 $\frac{9}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为.

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8、若 $10^{m} = 2$ ， $10^{n} = 3$ ，则 $10^{3 m - n} =$ .

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9、给定数集 $A = R$ ， $B = (- \infty, 0]$ ，方程 $s^{2} + 2 t + 1 = 0$ ①，则（）

A、任给 $s \in A$ ，对应关系 $f$ 使方程①的解 $s$ 与 $t$ 对应，则 $t = f (s)$ 为函数 B、任给 $t \in B$ ，对应关系 $g$ 使方程①的解 $t$ 与 $s$ 对应，则 $s = g (t)$ 为函数 C、任给方程①的两组不同解 $(s_{1}, t_{1})$ ， $(s_{2}, t_{2})$ ，其中 $s_{1}$ ， $s_{2} \in B$ ，则 $t_{1} s_{1} + t_{2} s_{2} > t_{1} s_{2} + t_{2} s_{1}$ D、存在方程①的两组不同解 $(s_{1}, t_{1})$ ， $(s_{2}, t_{2})$ ，其中 $s_{1}$ ， $s_{2} \in B$ ，使得 $(\frac{s_{1} + s_{2}}{2}, \frac{t_{1} + t_{2}}{2})$ 也是方程①的解

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10、若“ $- 1 < x < 3$ ”是“ $\frac{x - a}{1 + a - x} < 0$ ”的一个充分不必要条件，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq - 2$ 或 $a \geq 3$ B、 $a < - 1$ 或 $a > 3$ C、 $- 2 < a < 3$ D、 $- 1 < a < 3$

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11、已知幂函数 $f (x) = (a^{2} - a - 1) x^{a}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则函数 $g (x) = b^{x + a} - 1 (b > 1)$ 的图像过定点（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $(1, 0)$ D、 $(1, - 1)$

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12、若 $a$ 、 $b$ 、 $c \in R$ ，且 $a > b$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $a - 3 c > b - 3 c$ B、 $a c > b c (c \neq 0)$ C、 $|a| > |b|$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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13、若集合 $P = \{0, 1\}$ ，则集合 $M = \{A |A \subseteq P\}$ 可用列举法表示为（）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{\emptyset, 0, 1\}$ C、 $\{\emptyset, \{0\}, \{1\}\}$ D、 $\{\emptyset, \{0\}, \{1\}, \{0, 1\}\}$

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14、若复数 $z$ 满足 ${(1 + i)}^{2} z = 6 - 2 i$ ，则 $z$ 的虚部与实部之差为（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $- 4$ D、 $- 3 i + 1$

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15、如图，边长为2的等边 $△ P C D$ 所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， M为BC的中点.

(1)、证明： $A M ⊥ P M$ ；

(2)、求平面PAM与平面ABCD的夹角的大小；

(3)、求点D到平面AMP的距离.

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16、已知以点C为圆心的圆经过点 $A (- 1 ， 0)$ 和 $B (3 ， 4)$ ，且圆心在直线 $x + 3 y - 15 = 0$ 上.
（1）求圆C的方程；
（2）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值.

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17、某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务态度，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 $[40, 50), [50, 60), \dots, [80, 90), [90, 100] .$

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、试估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

(3)、从评分在 $[40, 60)$ 内的受访职工中，数据抽取2人，求此2人评分都在 $[50, 60)$ 内的概率.

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18、已知直线 $l$ 经过两条直线 $l_{1}$ ： $x + y - 4 = 0$ 和 $l_{2}$ ： $x - y + 2 = 0$ 的交点，直线 $l_{3}$ ： $2 x - y - 1 = 0$ ；
(1)若 $l ∥ l_{3}$ ，求 $l$ 的直线方程；
(2)若 $l ⊥ l_{3}$ ，求 $l$ 的直线方程．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin x \cos x - \frac{\sqrt{3}}{4} (\cos^{2} x - \sin^{2} x)$ ， $x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线与椭圆C交于A，B两点．若 $△ F_{1} A B$ 的周长为16，则椭圆方程为．

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