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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a > 0, \forall x \in (0, + \infty), f (x) > \frac{e^{- x}}{a} - \frac{1}{x}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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2、已知全集 $U = A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}, A \cap (∁_{U} B) = \{1, 3, 5\}$ ，则集合 $B =$ （）

A、 $\{1, 3, 5\}$ B、 $\{0, 2, 4\}$ C、 $\emptyset$ D、 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$

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3、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 9 x + 18 \leq 0\}$ ， $B = {x ∣ 4 < x < 9}$ .

(1)、分别求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ .

(2)、已知 $C = {x ∣ m - 2 < x < m + 1}$ ，且 $C \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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4、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ C、 $\exists x_{0} \notin R$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 > 0$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 \leq 0$

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5、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ．

(1)、比较 $a^{2} + a$ 与 $2 a b - b^{2}$ 的大小；

(2)、若 $a + 9 b + 7 = a b$ ，求 $a b$ 的最小值；

(3)、若 $b + \frac{1}{a} = a (a \leq 5)$ ，求 $b$ 的取值范围．

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6、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 6 x < 55\}$ ， $B = \{x |x > 2 m - 1\}$ .

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap (∁_{R} B)$ 中整数元素的个数为3，写出 $m$ 的一个值.

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7、已知函数 $f (x) = \frac{8}{x}$ ， $x \in [1, 2]$ ， $g (x) = a x + 2 a - 1$ ， $x \in [- 1, 3]$ .对于任意的 $x_{1} \in [1, 2]$ ，存在 $x_{2} \in [- 1, 3]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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8、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{8 - x}}{3 x - 1}$ 的定义域为．

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9、若函数 $f (3 x - 1)$ 的定义域为 $(0, 3)$ ，则函数 $f (1 - 3 x)$ 的定义域为（）

A、 $(- 3, 0)$ B、 $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ C、 $(- 1, 8)$ D、 $(- \frac{7}{3}, \frac{2}{3})$

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10、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 1, x \leq 0 \\ \frac{1}{x - a}, x > 0 \end{array}$ ，且 $f (f (- 1)) = \frac{1}{2}$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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11、已知集合 $A = \{0, 1, 4, 6, 7, 8, 10\}$ ， $B = \{x |x = 2 n, n \in N\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12、“ $\forall x \in Z$ ， $\sqrt{|x|} \in Z$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in Z$ ， $\sqrt{|x|} \in Z$ B、 $\exists x \in Z$ ， $\sqrt{|x|} \notin Z$ C、 $\exists x \notin Z$ ， $\sqrt{|x|} \notin Z$ D、 $\forall x \in Z$ ， $\sqrt{|x|} \notin Z$

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13、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) = f (2 - x) + 2 x - 2$ ，且 $f (3) = 2$ ，则（）

A、 $f (- 5) = - 6$ B、 $f (x + 4) = f (x)$ C、 $f^{'} (101) = 101$ D、 $\sum_{i = 1}^{100} f (i) = 5050$

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14、直线 $x \sin α + y + 2 = 0$ 的倾斜角的取值范围是（　　）

A、 $[0, π)$ B、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ C、 $[0, \frac{π}{4}]$ D、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$

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15、已知函数 $f (x) = sin 2 x + a cos 2 x$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称，则当 $x \in [0, 2 π]$ 时，曲线 $y = f (x)$ 与 $y = cos x$ 的交点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，焦距为2.动点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆 $C$ 上，当线段 $M F_{2}$ 的中垂线经过 $F_{1}$ 时，有 $cos ∠ M F_{2} F_{1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、如图，过原点 $O$ 作 $⊙ M : {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = \frac{2}{3}$ 的两条切线，分别与椭圆 $C$ 交于点 $P$ 和点 $Q$ ，直线 $O P ､ O Q$ 的斜率分别记为 $k_{1} ､ k_{2}$ .当点 $M$ 在椭圆上运动时，
①证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 恒为定值，并求出这个值；
②求四边形 $O P M Q$ 面积的最大值.

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17、函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 3,$ $x \in [0, 3)$ 的值域为．

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18、古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 $k (k > 0$ 且 $k \neq 1)$ 的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中， $N (1, 0), M (4, 0)$ ，动点 $Q$ 满足 $\frac{|Q M|}{|Q N|} = 2$ ，设动点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $x - y + 1 = 0$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $|A B|$ ；

(3)、若曲线 $C$ 与 $x$ 轴的交点为 $E, F$ ，直线 $l : x = m y - 1$ 与曲线 $C$ 交于 $G, H$ 两点，直线 $E G$ 与直线 $F H$ 交于点 $D$ ，证明：点 $D$ 在定直线上．

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19、已知动点 $P$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上， $Q (- 2, 3)$ ，点 $P$ 到 $C$ 的准线的距离为 $d$ ，且 $d + |P Q|$ 的最小值为5.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且直线 $Q A$ 的斜率与直线 $Q B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求 $l$ 的斜率.

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20、已知点 $A (- 1, 1), B (0, - 1), C (3, 0)$ ，且四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

(1)、求点 $D$ 的坐标；

(2)、求平行四边形 $A B C D$ 的面积．

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