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相关试卷

1、集合 $A = \{x \in N ∣ x^{2} \leq 2\}$ 的子集个数为．

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2、已知函数 $f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线， $f (x)$ 的定义域为 $[a, b], \forall x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，下列选项可判断 $f (x)$ 为单调函数的是（）

A、 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ B、 $x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1}) < x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2})$ C、 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 1$ D、 $f (x) = \min {f (a), f (b)}$

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3、已知函数 $f (x) = \log_{2} (a x^{2} + 3 x + 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、若 $a = 0$ ，则 $f (x)$ 是增函数 C、存在实数a，使得 $f (x)$ 为偶函数 D、若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，则a的取值范围为 $[0, \frac{9}{8}]$

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4、若a，b，c均为实数，则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $0 < a < b$ ，且 $m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$

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5、猪血木又名阳春红檀，原产于广东阳江阳春市、广西平南县和巴马县，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．猪血木不仅实现了人工繁育，在阳江阳春市储备苗木近10万株，还被引种到广州、深圳、韶关、云浮等地．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过 $n (n \in N^{*})$ 年，则 $n =$ （）
（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3, \lg 11 \approx 1.04$ ）

A、9 B、8 C、7 D、6

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6、已知函数 $y = a^{x - 3} - \frac{2}{3} (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $P$ .若点 $P$ 在幂函数 $f (x)$ 的图象上，则幂函数 $f (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7、若幂函数 $f (x)$ 的图象经过 $(1, 1), (2, - 4), (- \sqrt{2}, 2)$ 这三个点中的两个点，则 $f (4) =$ （）

A、64 B、16 C、4 D、2

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8、若 $a = 3^{0.1}, b = \log_{0.7} 2, c = {(π - 1)}^{0}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $c > a > b$ C、 $a > b > c$ D、 $c > b > a$

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9、若 $a > 1$ ，则 $a + \frac{1}{a - 1}$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10、函数 $f (x) = x^{3} + x - 1$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, 3)$

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11、已知 $f (x)$ 为奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2 x + 3$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、7 D、 $- 7$

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12、“ $x > - 1$ ”是“ $x > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数），则下列说法正确的有（）

A、 $y = f (x) \cdot g (x)$ 是奇函数 B、 ${[f (x)]}^{2} + {[g (x)]}^{2} = f (2 x)$ C、若方程 $|f (x) + g (x) - 1| + 1 = a$ 有且仅有一个解，则a的取值范围是 $[2, + \infty) \cup \{1\}$ D、函数 $F (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ，若存在 $x \in (1, 8)$ ，使 $F (m) < F [{log}_{2} \frac{x}{4} \cdot {log}_{2} (2 x)]$ 成立，则 $m < 4$

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14、已知集合 $A$ 中含有三个元素 $x, y, z$ ，同时满足① $x < y < z$ ；② $x + y > z$ ；③ $x + y + z$ 为偶数，那么称集合 $A$ 具有性质 $P$ .已知集合 $S_{n} = \{1, 2, 3, \dots, 2 n\}$ $(n \in N^{*}, n \geq 4)$ ，对于集合 $S_{n}$ 的非空子集 $B$ ，若 $S_{n}$ 中存在三个互不相同的元素 $a, b, c$ ，使得 $a + b, b + c, c + a$ 均属于 $B$ ，则称集合 $B$ 是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”.

(1)、试判断集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

(2)、若集合 $B = \{3, 4, a\}$ 具有性质 $P$ ，证明：集合 $B$ 是集合 $S_{4}$ 的“期待子集”；

(3)、证明：对于 $S_{n}$ 的非空子集 $M$ ，集合 $M$ 具有性质 $P$ 的充要条件是集合 $M$ 是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”.

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15、两社区 $A$ 和 $B$ 相距2km，现计划在两社区外以 $A B$ 为直径的半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ （不含 $A$ ， $B$ 两点）上选择一点 $C$ 建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区 $A$ 的噪音影响度是所选地点到社区 $A$ 的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区 $B$ 的噪音影响度是所选地点到社区 $B$ 的距离的平方的反比例函数，比例系数为 $K$ ，对社区 $A$ 和社区 $B$ 的总噪音影响度为对社区 $A$ 和社区 $B$ 的噪音影响度之和.记 $C$ 点到社区 $A$ 的距离为 $x km$ ，建在 $C$ 处的口袋公园对社区 $A$ 和社区 $B$ 的总噪音影响度为 $y$ .统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点时，对社区 $A$ 和社区 $B$ 的总噪音影响度为0.05.

(1)、将 $y$ 表示成 $x$ 的函数；

(2)、判断半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区 $A$ 和社区 $B$ 的总噪音影响度最小？若存在，求出该点到社区 $A$ 的距离；若不存在，说明理由.

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16、在 $△ A B C$ 中， $C A = 2$ ， $A B = 3$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $D$ 为 $B C$ 的三等分点（靠近 $C$ 点）．

(1)、求 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的值；

(2)、若点 $P$ 满足 $\vec{C P} = λ \vec{C A}$ ，求 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的最小值，并求此时的 $λ$ ．

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17、设函数 $f (x) = \lg [(2 x - 3) (x - \frac{1}{2})]$ 的定义域为集合A，函数 $g (x) = \sqrt{- x^{2} + 4 a x - 3 a^{2}}$ 的定义域为集合B (其中 $a \in R$ ，且 $a > 0$ ) .
(1)当 $a = 1$ 时，求集合 $A \cap B$ ；
(2)若 $A \cap B = B$ ，求实数a的取值范围.

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18、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = 3$ ， $2 \vec{a} \cdot \vec{b} - | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | = 0$ ， $\vec{a} - \vec{c}$ 与 $\vec{b} - \vec{c}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $| \vec{c} - \vec{a} | = 2 \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的最大值是.

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19、已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}}, g (x) = a x + 1 (a > 0)$ ，若对 $\forall x_{1} \in [1, 2]$ ，总 $\exists x_{2} \in [1, 6]$ 使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为 .

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20、已知函数 $f (x) = - x + 6$ ， $g (x) = - 2 x^{2} + 4 x + 6$ ，若 $h (x) = \min {f (x), g (x)}$ ，则 $h (x)$ 的最大值为.

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