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相关试卷

1、已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，点 $P (- 1, \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ 上，直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 1$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $Q$ ，且由点 $P$ ， $Q$ ， $A$ ， $B$ 组成的以 $P A$ 为一边的四边形的面积为 $\frac{9}{2}$ ，求 $l$ 的方程．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B ∥ C D$ ， $A D = D C = 2$ ， $A B = 4$ ， $△ P B D$ 为等边三角形，且平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、作出点 $B$ 在平面 $P A D$ 的射影 $E$ ，并证明；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P A D$ 的夹角的余弦值．

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3、已知 $△ A B C$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{1}{4} (b^{2} - a b) tan C$ ．

(1)、证明： $C = 2 A$ ；

(2)、若 $C D$ 为 $∠ A C B$ 的平分线，交 $A B$ 于点 $D$ ，且 $a = \frac{6}{5}$ ， $C D = 1$ ，求 $B D$ 的长．

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4、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = C D = \sqrt{5}$ ， $A D = B C = 3$ ， $B D = 2$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，得到三棱锥 $A - B C D$ ，且 $A C = \sqrt{6}$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为．

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5、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，若直线 $l : a x + b y + c = 0$ 与曲线 $y = e^{x - 1} + ln x - 3$ 相切，则 $\frac{b + c}{a} =$ ．

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6、写出一个半径为 $\sqrt{13}$ ，且与直线 $2 x - 3 y + 6 = 0$ 相切于点 $(3, 4)$ 的圆的方程：．

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7、在平面直角坐标系中，已知 $F_{1} (- 3, 0)$ ， $F_{2} (3, 0)$ ， $O$ 为原点， $P$ 为平面内的动点，且 $P H$ 垂直于 $y$ 轴，垂足为 $H$ ，则满足下列条件的动点 $P$ 的轨迹为椭圆的是（）

A、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 10$ B、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| + {|P O|}^{2} = 41$ C、 $\frac{|P H|}{|P F_{1}| + |P F_{2}|} = \frac{5}{6}$ D、 $\frac{|P H|}{||P F_{1}| - |P F_{2}||} = \frac{5}{6}$

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8、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为线段 $B_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 上的动点（包括端点），点 $P$ 在底面 $A B C D$ 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（）

A、存在唯一的 $M$ ， $P$ ，使得 $M P ⊥ A C_{1}$ B、存在唯一的 $M$ ， $P$ ，使得 $M P / / A C_{1}$ C、若 $M$ 为线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点，且 $M P / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ ，则动点 $P$ 的轨迹的长度为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、若 $M$ 为线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则 $M P + P A_{1}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{21}}{2}$

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9、已知 $x > y > 0$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ B、 $\frac{x + y}{\sqrt{x y}} > 2$ C、 ${0.2}^{x} > {0.2}^{y}$ D、 $\frac{1}{ln x} < \frac{1}{ln y}$

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10、定义 $f (x) = f^{'} (x)$ 的实数根 $x$ 为 $f (x)$ 的“坚定点”，已知 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（）

A、 $f (x) = a sin x$ B、 $f (x) = ln a x$ C、 $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} + a x + a$ D、 $f (x) = e^{a x}$

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11、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $A$ 是椭圆 $C$ 的左顶点，过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于另一点 $P$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = |P F_{2}|$ ，椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\pm \frac{1}{2}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\pm \frac{1}{3}$

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12、将函数 $f (x) = cos (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 上单调递减，则 $ω$ 的最大值为（）

A、6 B、5 C、3 D、2

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13、已知 $f (x) = \frac{2^{x} \cdot sin x}{2^{a x} - 1}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 1$

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14、已知向量 $\vec{a} = (cos θ, 1)$ ， $\vec{b} = (1, sin θ)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\frac{3 - cos 2 θ}{sin θ + cos θ}$ 的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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15、已知复数 $z_{1}$ 在复平面内所对应的点位于第一象限，且 $\frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{2}{{(1 + i)}^{2}}$ ，则复数 $z_{2}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} + a_{4} = 3$ ， $a_{2} + a_{5} = 6$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、27 B、24 C、21 D、18

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17、已知集合 $A = \{x ∣ 2^{x} \leq 3\}$ ， $B = \{x ∣ x = 2 n - 1, n \in N\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{1\}$ D、 $\emptyset$

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18、函数 $y = a^{x - 2} (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图象恒过的定点 $A$ 的坐标为，若点 $A$ 在一次函数 $y = m x + n$ 的图象上，其中 $m, n > 0$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为.

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19、在 $△ A B C$ 中，“ $∠ A + ∠ B > 90 °$ ”是“ $△ A B C$ 为锐角三角形”的条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

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20、取整函数被广泛的应用于数论，函数绘图和计算机领域，其定义如下：设 $x \in R$ ，不超过 $x$ 的最大整数称为 $x$ 的整数部分，记作 $[x]$ ，函数 $y = [x]$ 称为取整函数．另外也称 $[x]$ 是 $x$ 的整数部分．已知数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = n^{2} - n$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\sum_{i = 1}^{k} [\sqrt{a_{i}}] = 34$ ，其中 $k \in N^{*}$ ，求 $k$ 的值；

(3)、求证： $\sum_{i = 1}^{m^{2} + 2 m} [\sqrt{a_{i} + 1} + \sqrt{a_{i + 1} + 1}] + S_{m}$ 为8的倍数，其中 $m \in N^{*}$ ．（参考公式： $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ）

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