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相关试卷

1、下列函数中为偶函数的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = \sqrt{x}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{2} + 1$

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2、已知命题 $p$ ： $\exists x > 0$ ， $x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ ，则命题 $p$ 的否定为（）．

A、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} + 2 x + 2 > 0$ B、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} + 2 x + 2 > 0$ C、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} + 2 x + 2 > 0$ D、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} + 2 x + 2 > 0$

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3、函数 $f (x) = \sqrt{x + 4} + \frac{1}{x + 3}$ 的定义域是（）

A、 $[- 4, + \infty)$ B、 $[- 4, - 3) \cup (- 3, + \infty)$ C、 $(- 4, + \infty)$ D、 $(- 3, + \infty)$

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4、高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于 $13$ 秒到 $18$ 秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；
（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）；
（3）设 $m$ ， $n$ 表示该班两个学生的百米测试成绩，已知 $m$ ， $n$ ∈[13，14）∪[17，18]，求事件“| $m$ ﹣ $n$ |＞2”的概率．

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5、已知函数 $f (x)$ 为偶函数，其图像在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $x - 2 y + 1 = 0$ ，记 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (- 1) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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6、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = A A_{1}$ ， D为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，G为 $A A_{1}$ 的中点，E为 $C_{1} D$ 的中点， $B F = 3 A F$ ，点P为线段 $B C_{1}$ 上的动点（不包括线段 $B C_{1}$ 的端点）．
（1）若 $E P //$ 平面CFG，请确定点P的位置；
（2）求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值．

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7、如图，直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的高为4，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A D = D B = 2$ ， $∠ A D B = 60 °$ ， $M, N$ 分别为线段 $B B_{1}$ 、 $A_{1} D$ 的中点．

(1)、求证： $M N ⊥$ 平面 $C C_{1} B_{1} B$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - D C_{1} - C$ 的余弦值．

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为矩形， $A B ⊥$ 平面PAD，E是AD的中点， $△ P A D$ 为等腰直角三角形， $D P ⊥ A P$ ， $P A = \sqrt{2} A B$ ．

(1)、求证： $P E ⊥ B D$ ；

(2)、求PC与平面PBE所成角的正弦值．

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9、已知直线 $l$ 的方程为 $x + 2 y - 6 = 0$ ．
（Ⅰ）直线 $l_{1}$ 与 $l$ 垂直，且过点（1，-3），求直线 $l_{1}$ 的方程；
（Ⅱ）直线 $l_{2}$ 与 $l$ 平行，且直线 $l_{2}$ 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线 $l_{2}$ 的方程．

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10、（1）求经过点 $P (- 1, 3)$ 和点 $Q (3, 2)$ 的直线的方程；
（2）求经过点 $P (- 1, 3)$ 且倾斜角为 $\frac{3π}{4}$ 的直线方程.

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11、已知两点 $A (- 3 ， 4)$ ， $B (3 ， 2)$ ，过点 $P (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 有公共点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是.

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12、过不重合的 $A (m^{2} + 2, m^{2} - 3), B (3 - m - m^{2}, 2 m)$ 两点的直线 $l$ 的倾斜角为 $45 °$ ，则 $m$ 的取值为．

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13、已知 $\tan α = 2 \tan β$ ，则（）

A、 $\exists α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，使得 $α = 2 β$ B、若 $\sin α \cos β = \frac{2}{5}$ ，则 $\sin (α - β) = \frac{1}{5}$ C、若 $\sin α \cos β = \frac{2}{5}$ ，则 $\cos (2 α + 2 β) = - \frac{7}{25}$ D、若 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\tan (α - β)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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14、如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2， $A B$ ， $C D$ 分别为上、下底面的直径， $A C$ ， $B D$ 为圆台的母线， $E$ 为弧 $A B$ 的中点，则（）

A、圆台的侧面积为 $6 π$ B、直线 $A C$ 与下底面所成的角的大小为 $\frac{π}{3}$ C、圆台的体积为 $\sqrt{3}$ D、异面直线 $A C$ 和 $D E$ 所成的角的大小为 $\frac{π}{4}$

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15、（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（）

A、点 $P (1, - 1, 0)$ 与点 $Q (1, 1, 0)$ 关于z轴对称 B、点 $A (- 3, - 1, 4)$ 与点 $B (3, - 1, - 4)$ 关于y轴对称 C、点 $A (- 3, - 1, 4)$ 与点 $B (3, - 1, - 4)$ 关于平面 $x O z$ 对称 D、空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分

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16、设直线 $l$ 的方程为 $y - x \cos θ + 3 = 0 (θ \in R)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围是（）

A、 $[0, π)$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ C、 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3π}{4}, π)$ D、 $[\frac{π}{4}, \frac{3π}{4}]$

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17、已知平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (1, - 1, 2)$ ， $A (0, 1, 2)$ 是平面 $α$ 内一点， $P (2, 1, 4)$ 是平面 $α$ 外一点，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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18、我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥 $P - A B C D$ 为阳马， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A B = A D = A P = 3$ ， $\vec{E C} = 2 \vec{P E}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{D E} =$ （）

A、 $- 3$ B、3 C、2 D、5

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19、已知正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为1，且 $B P = \frac{1}{3} B D^{'}$ ，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ C、 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

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20、如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B E}$ 等于（）

A、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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