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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左､右两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为椭圆上一动点， $M (2, 2)$ ，则下列说法正确的是（）

A、存在点 $P$ 使 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为16 C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的最大面积为12 D、 $|P M| + |P F_{1}|$ 的最小值为 $10 - 2 \sqrt{2}$

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2、已知直线 $l : (m + 2) x + y + m + 1 = 0$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} + 4 x - 5 = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 过定点 $(- 1, 1)$ B、圆 $C$ 的半径是1 C、存在一个实数 $m$ ，使得直线 $l$ 经过圆 $C$ 的圆心 D、无论 $m$ 取何值，直线 $l$ 与圆 $C$ 相交

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3、若圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$ 上有四个不同的点到直线 $l$ ： $3 x + 4 y + c = 0$ 的距离为 $2$ ，则 $c$ 的取值范围是

A、 $(- 12, 8)$ B、 $(- 8, 12)$ C、 $(- 7, 3)$ D、 $(- 3, 7)$

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4、已知 $x, y$ 满足 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ ，则 $x^{2} + 2 x + y^{2}$ 的取值范围是（）

A、 $[2 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2}]$ B、 $[8, 32]$ C、 $[2 \sqrt{2} - 1, 4 \sqrt{2} - 1]$ D、 $[7, 31]$

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5、在空间直角坐标系中，直线 $l$ 经过点 $P (2, - 1, - 2)$ ，且其方向向量 $\vec{n} = (1, 2, - 1)$ ，则点 $M (1, 0, - 2)$ 到 $l$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、3 D、 $\frac{\sqrt{66}}{6}$

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6、“ $t > 9$ ”是方程“ $\frac{x^{2}}{t - 9} - \frac{y^{2}}{t - 7} = 1$ ”表示双曲线的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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7、经过两直线 $x - y - 1 = 0$ 和 $3 x + y - 3 = 0$ 的交点，且与直线 $y = \frac{1}{2} x - 1$ 垂直的直线方程是（）

A、 $y = 2 x - 2$ B、 $y = 2 x - \frac{1}{2}$ C、 $y = - 2 x + 2$ D、 $y = - 2 x + \frac{1}{2}$

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8、已知函数 $f (x) = \ln x - a x + 1$ ．

(1)、 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值 $;$

(2)、若函数 $g (x) = x f (x)$ ．
（i）证明：曲线 $y = g (x)$ 图象上任意两个不同的点处的切线均不重合．
（ii）若 $\exists x \in (- 1, + \infty)$ ，使得 $g (x + 1) - 2 x - 2 - 2 \sin x < 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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9、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin ω x cos ω x - 2 {cos}^{2} ω x + 2$ ，其中 $ω > 0$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内恰有2个极值点，求 $ω$ 的取值范围；

(2)、当 $ω = 1$ 时，在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $f (A) = 3, b + c = 2$ ，求边 $a$ 的取值范围.

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10、已知函数 $f (x) = \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

(1)、证明：函数 $g (x) = f (x) - 1$ 的图象是中心对称图形；

(2)、当 $i \in Z$ 时，求 $\sum_{i = - 11}^{10} f (i + \frac{1}{2})$ 的值.

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为F，过点F且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与C的两条渐近线分别交于点M，N，且M，N分别位于第二、三象限，若 $\frac{| M F |}{| N F |} = \frac{1}{2}$ ，则C的离心率为

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12、若函数 $f (x)$ 是周期为2的奇函数，当 $x \in (1, 2)$ 时， $f (x) = 2^{x} + 1$ ，则 $f ({log}_{2} \frac{4}{3}) =$ .

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13、已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6 - \ln \frac{4 - x}{x}$ ，则（）

A、 $f (1) + f (3) = 4$ B、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极值点 C、当 $\sqrt{6} < x < 3$ 时， $f (x^{2} - 6) < f (x)$ D、当 $f (a) + f (b) > 4$ 时， $a + b > 4$

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14、已知直线 $l$ ： $k x - y + 2 k = 0$ 和圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 9$ 交于A，B两点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(2, 0)$ B、存在 $k$ 使得直线 $l$ 与直线 $l_{0}$ ： $x - 2 y + 2 = 0$ 垂直 C、当 $∠ A O B$ 最小时，其余弦值为 $- \frac{1}{9}$ D、若 $k = - 1$ ，直线 $l$ 被圆 $O$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{7}$

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15、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点，点 $P$ 是椭圆上任意一点，以 $P F_{1}$ 为直径作圆 $N$ ，直线 $O N$ 与圆 $N$ 交于点 $Q$ （点 $Q$ 不在椭圆内部），则 $\overset{⃑}{Q F_{1}} \cdot \overset{⃑}{Q F_{2}} =$

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、3 D、1

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16、已知 $F$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点，过 $C$ 上一点 $M$ 作其准线的垂线，垂足为 $N$ ，若 $∠ N M F = 120 °$ ，则点 $M$ 的横坐标是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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17、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = |\sqrt{3} - i|$ ， $i$ 为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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18、随机将 $1, 2, \cdot \cdot \cdot, 2 n (n \in N^{*}, n \geq 2)$ 这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为 $a_{1}$ ，最大数为 $a_{2}$ ；B组最小数为 $b_{1}$ ，最大数为 $b_{2}$ ，记 $ξ = a_{2} - a_{1}, η = b_{2} - b_{1}$
（1）当 $n = 3$ 时，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；
（2）令C表示事件 $ξ$ 与 $η$ 的取值恰好相等，求事件C发生的概率 $p (c)$ ；
（3）对（2）中的事件C， $\bar{c}$ 表示C的对立事件，判断 $p (c)$ 和 $p (\bar{c})$ 的大小关系，并说明理由．

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19、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $A (0, 1)$ ，右顶点为 $B (2, 0)$ ，直线 $y = - \frac{1}{2} x + t (- \sqrt{2} < t < 1)$ 与椭圆 $Γ$ 相交于点 $C$ 、 $D$ （ $A B C D$ 构成凸四边形） $．$

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、设直线 $A D$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B C$ 的斜率为 $k_{2}$ ，证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值；

(3)、用含 $t$ 的代数式表示凸四边形 $A B C D$ 的面积 $S (t)$ ，并求 $S (t)$ 的最大值 $．$

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20、已知函数 $f (x) = x (x - 2) (x - a)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(2, 0)$ 对称，求 $a$ 的值；

(2)、若 $x = a$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求 $a$ 的值；

(3)、设 $x_{1} ， x_{2}$ 是 $f (x)$ 的极值点，且满足 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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