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相关试卷

1、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，公差为d，若 $S_{9} = a_{5} + a_{12} ， a_{1} ＞ 0$ ，则以下结论一定正确的是（）

A、 $d ＜ 0$ B、 $S_{2} = S_{5}$ C、 $|a_{1}| ＞ |a_{9}|$ D、 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 3$

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2、以圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} + 4 x + 1 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + 1 = 0$ 相交的公共弦为直径的圆的方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ B、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ C、 ${(x + \frac{3}{5})}^{2} + {(y + \frac{6}{5})}^{2} = \frac{4}{5}$ D、 ${(x - \frac{3}{5})}^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{4}{5}$

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3、已知A为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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4、虚轴长为2，离心率 $e = 3$ 的双曲线两焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线交双曲线的一支于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $| A B | = 8$ ，则 $△ A B F_{2}$ 的周长为（）

A、3 B、16+ $\sqrt{2}$ C、12+ $\sqrt{2}$ D、24

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5、已知点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，直线 $P A$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $P B$ 的斜率为 $k_{2}$ ，若 $k_{2} - k_{1} = 1$ ，则点 $P$ 的轨迹为不包含 $A$ ， $B$ 两点的（）

A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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6、若直线 $x - y + a = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $∠ A O B = 120 °$ （ $O$ 为坐标原点），则 $|a| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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7、直线 $\sqrt{3} x + y + 2 = 0$ 的倾斜角及在y轴上的截距分别是（）

A、 $60 °$ ， 2 B、 $60 °$ ， $- 2$ C、 $120 °$ ， $- 2$ D、 $120 °$ ， 2

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8、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $P$ 为 $C_{1}$ 上一点， $Q$ 为圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} = 4$ 上一点， $|P Q|$ 的最大值为 $2 + \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、若圆 $C_{2}$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $M$ ，过 $M$ 作直线 $l$ ，与 $C_{1}$ 相交于不同的两点 $A$ ， $B$ ，求 $△ A B F$ 面积的最大值．

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9、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} c sin A = 2 a {cos}^{2} \frac{C}{2}$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $D$ 为边 $A C$ 上一点，且 $B D = B C = \frac{\sqrt{3}}{3} A B$ ，求 $\frac{C D}{A D}$ 的值．

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10、三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C = \sqrt{2}, A B ⊥ A C$ ，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $P B = P C$ .记 $P - A B C$ 的体积为 $V$ ，内切球半径为 $r$ ，则 $\frac{2}{r} - \frac{1}{V}$ 的最小值为.

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11、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d, a_{1} = 2$ ，若 $\sqrt{S_{n} - a_{n}}$ 也为等差数列，则 $d$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、8

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12、如图所示，棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为线段 $A_{1} B$ 上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是（）

A、 $D_{1} P ⊥ A B_{1}$ B、 $D_{1} P$ 与 $A C$ 所成的角可能是 $\frac{π}{6}$ C、 $\vec{A P} \cdot \vec{D C_{1}}$ 是定值 D、当 $A_{1} P = 2 P B$ 时，点 $C_{1}$ 到平面 $D_{1} A P$ 的距离为2

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13、已知空间中三个向量 $\vec{a} = (1, 2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (- 1, - 2, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 是共线向量 B、与 $\vec{a}$ 同向的单位向量是 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$ C、 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量是 $(- 1, - 2, 0)$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $90 °$

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14、若函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{|x|} + m - 1$ 至少有一个零点，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m < 1$ B、 $m \geq 1$ C、 $0 \leq m < 1$ D、 $0 \leq m \leq 1$

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15、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为 $\{a_{n}\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{9} = 34$ B、 $S_{7} = 32$ C、 $a_{1} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{2024} = a_{2025}$ D、 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{2023}^{2} = a_{2023} a_{2024}$

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16、过曲线 $y = f (x)$ 上一点 $P$ 作其切线，若恰有两条，则称 $P$ 为 $f (x)$ 的“ $A$ 类点”；过曲线 $y = f (x)$ 外一点 $Q$ 作其切线，若恰有三条，则称 $Q$ 为 $f (x)$ 的“ $B$ 类点”；若点 $R$ 为 $f (x)$ 的“ $A$ 类点”或“ $B$ 类点”，且过 $R$ 存在两条相互垂直的切线，则称 $R$ 为 $f (x)$ 的“ $C$ 类点”．

(1)、设 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ ，判断点 $P (1, 1)$ 是否为 $f (x)$ 的“ $A$ 类点”，并说明理由；

(2)、设 $f (x) = x^{3} - m x$ ，若点 $Q (2, 0)$ 为 $f (x)$ 的“ $B$ 类点”，且过点 $Q$ 的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数 $m$ 的值；

(3)、设 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ ，证明： $y$ 轴上不存在 $f (x)$ 的“ $C$ 类点”．

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17、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过坐标原点的直线交椭圆于A、 $B$ 两点，点A在第一象限．

(1)、若 $|O A| = \sqrt{6}$ ，求点A的坐标；

(2)、求 $|\vec{A F_{1}} + 3 \vec{A F_{2}}|$ 的取值范围；

(3)、若 $A E ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ ，连结 $B E$ 并延长交椭圆于点 $C$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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18、申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小 $A$ 、高二小 $B$ 分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．

二分球出手
二分球命中率
三分球出手
三分球命中率
小 $A$
100次
$80 %$
100次
$40 %$
小 $B$
190次
$70 %$
10次
$30 %$
现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校 $MVP$ （总投篮命中率 $=$ 总命中次数÷总出手次数）

(1)、小 $C$ 认为，目测小 $A$ 的二分球命中率和三分球命中率均高于小 $B$ ，此次必定能评为校 $MVP$ ，试通过计算判断小 $C$ 的想法是否准确？

(2)、小 $D$ 是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小 $a$ 、小 $b$ 轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小 $a$ 的命中率始终为0.4，小 $b$ 的命中率始终为0.3，②游戏中投篮总次数最多为 $k (3 \leq k \leq 20, k \in Z)$ 次，且同一个游戏人物不允许连续技篮．③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第 $k$ 次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“ $k$ ”的值，请解答以下两个问题．
（ⅰ）若小 $a$ 第一次投篮，请证明小 $a$ 获胜概率大；
（ⅱ）若小 $b$ 第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由．

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19、如图，已知 $A B$ 为圆柱 $O O_{1}$ 底面圆 $O$ 的直径， $O A = 2$ ，母线 $A A_{1}$ 长为3，点 $P$ 为底面圆 $O$ 的圆周上一点．

(1)、若 $∠ B O P = 90 °$ ，求三棱锥 $A - P B A_{1}$ 的体积；

(2)、若 $∠ B O P = 60 °$ ，求异面直线 $A_{1} B$ 与 $A P$ 所成的角的余弦值．

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20、已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = \sin ω x$ ， $ω > 0$ ．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，求 $ω$ 的值及 $y = f (x)$ 的单调增区间；

(2)、若 $ω = 2$ ，设函数 $y = g (x)$ 的表达式为 $g (x) = f (x) + \sqrt{3} \cos 2 x$ ，求当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $y = g (x)$ 的值域．

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	二分球出手	二分球命中率	三分球出手	三分球命中率
小 $A$	100次	$80 %$	100次	$40 %$
小 $B$	190次	$70 %$	10次	$30 %$