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相关试卷

1、设正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = \frac{a_{n}^{2} + 1}{2 a_{n}} (n \in N^{*})$ ．则下列结论正确的是（）

A、 $S_{1} = 1$ B、 $\sqrt{S_{n}} - \sqrt{S_{n - 1}} = 1 (n \geq 2)$ C、 $a_{n} = \sqrt{n} - \sqrt{n - 1}$ D、 $0 < a_{n} \leq 2$

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2、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面 C、若空间向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为钝角 D、若已知空间向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \cdot \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$

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3、下列命题正确的是（）

A、若某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为 $s (t) = \frac{2}{t}$ ，则该质点在 $t = 3$ 秒时的瞬时速度为 $\frac{2}{9}$ 米/秒 B、命题“ $\forall x \geq 0, e^{x} \geq \sin x$ ”是真命题 C、设函数 $φ (x)$ 的导函数为 $φ^{'} (x)$ ，且 $φ (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} φ^{'} (1) - x$ ，则 $φ^{'} (1) = 1$ D、已知函数 $h (x)$ 在R上可导，若 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{h (1 + Δ x) - h (1)}{2 Δ x} = 2$ ，则 $h^{'} (1) = 2$

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d = 1$ ，且 $a_{3}, a_{5} + 1, 2 a_{6}$ 成等比数列，则数列 $\{{(- 1)}^{n + 1} a_{n}\}$ 的前2025项和为（）

A、 $- 1013$ B、 $- 505$ C、505 D、1013

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5、已知空间向量 $\vec{A B} = (2, - 1, 3)$ ，则 $| \vec{A B} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{14}$ C、2 D、14

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6、某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、估计这100名候选者面试成绩的第65百分位数（分位数精确到0.1）；

(3)、在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率.

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7、已知直线 $l_{1} : x + y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2} : x - 3 y + 1 = 0$ 相交于点 $C$ ，以 $C$ 为圆心的圆过点 $A (0, 1)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、求过点 $B (4, 5)$ 的圆 $C$ 的切线方程.

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8、已知点 $A (- 1, 0), B (0, 2)$ ，过 $P (- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 有交点，则直线 $l$ 的斜率的取值范围是.

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9、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 $2$ ，过点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、若 $|A B| = 8$ ，则点 $M$ 到 $y$ 轴的距离为 $4$ B、过点 $(0, 1)$ 与抛物线 $C$ 有且仅有一个公共点的直线至多有 $2$ 条 C、 $P$ 是准线上一点， $Q$ 是直线 $P F$ 与 $C$ 的一个交点，若 $\vec{F P} = 4 \vec{F Q}$ ，则 $|F P| = 6$ D、 $9 |A F| + |B F| \geq 16$

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10、直线 $x - \frac{2 y}{3} = 2$ 在 $y$ 轴上的截距为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- 3$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (1 - 2 m) x + 3 m, x < 1 \\ x^{2}, x \geq 1 \end{array}$ 的值域为R ，则m的取值范围是．

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12、定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意的x₁ ， x₂∈R，都有f（ $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ） $\leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数f（x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）＝ax²+x（a∈R，a≠0）
（1）当a＝1，x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的值域；
（2）当a＝1时，试判断函数f（x）是否为凹函数，并说明理由；
（3）如果函数f（x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ，其中自然对数的底数 $e \approx 2.718$ ，函数 $F (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $F (x) = f (x)$ ．

(1)、求 $F (x)$ 的解析式；

(2)、证明函数 $F (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上的单调递增；

(3)、若 $a e^{2 x} - e^{x} + a \geq 0 (x \in [1, 2])$ 恒成立，求常数 $a$ 的取值范围．

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14、计算或化简．

(1)、化简： $\frac{\sqrt{a b \cdot \sqrt[3]{a b}}}{\sqrt[3]{a b \sqrt{a b}}} + \sqrt[4]{{(a - b)}^{4}} + \sqrt[3]{{(a - b)}^{3}} (0 < a < b)$ ；

(2)、计算： ${(\frac{25}{9})}^{\frac{1}{2}} + {0.1}^{- 2} + {(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}} - 3 π^{0}$ ；

(3)、已知 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} + 2}{x^{2} + x^{- 2} + 3}$ 的值．

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15、二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 满足下列三个条件：① $f (0) = - 1$ ；②对任 $x \in R$ ，均有 $f (x - 4) = f (2 - x)$ ；③函数 $f (x)$ 的图象与函数 $g (x) = x - 1$ 的图像有且只有一个公共点，若 $f (x - t) \leq g (x)$ 解集为 $[4, m] (m > 4)$ ，则 $m =$ ； $t =$ ．

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16、函数 $f (x) = \sqrt{9 - 3^{x + 1}}$ 的定义域是．

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17、函数 $y = f (x)$ 是R上的奇函数，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (2 - x) = f (x) + f (2)$ 成立，当 $x_{1}, x_{2} \in [0, 1]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) > x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2022) = 0$ B、直线 $x = - 5$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- 7, 7]$ 上有5个零点 D、函数 $y = f (x)$ 在 $[- 7, - 5]$ 上为减函数

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18、下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在定义域上是减函数 B、函数 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ 有且只有两个零点 C、函数 $y = 2^{|x|}$ 的最小值是1 D、在同一坐标系中函数 $y = 2^{x}$ 与 $y = 2^{- x}$ 的图象关于 $y$ 轴对称

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x + \frac{1}{x}, x > 0 \\ 2^{| x |}, x < 0 \end{matrix}$ ， $g (x) = x^{2} + a x + b$ ，若方程 $g [f (x)] = 0$ 有且仅有 $5$ 个不相等的解，则 $a - b$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 4)$ B、 $(- \infty, - 8)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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20、函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}}$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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