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相关试卷

1、在一个 $n (n \geq 2, n \in N^{*})$ 阶方阵 $[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}]$ 中，记第 $i$ 行元素构成的集合为 $R_{i}$ ，第 $i$ 列元素构成的集合为 $C_{i}$ ，集合 $P_{i} = R_{i} \cup C_{i}, i \in \{1, 2, \dots, n\}$ .如果一个 $n$ 阶方阵满足：①对任意 $i, j \in \{1, 2, \dots, n\}, a_{i j} \in \{1, 2, \dots, 2 n - 1\}$ ；②对任意 $i \in \{1, 2, \dots, n\}$ ，都有 $P_{i} = \{1, 2, \dots, 2 n - 1\}$ .则称这个方阵为 $n$ 阶 $S$ 阵.

(1)、已知 $A = [\begin{array}{l} 1 & 4 & 2 & 5 \\ 6 & 2 & 7 & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 4 \\ 7 & 3 & 6 & 2 \end{array}], B = [\begin{array}{l} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 1 & 8 & 3 & 4 \\ 7 & 5 & 1 & 9 & 2 \\ 8 & 9 & 6 & 1 & 3 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 1 \end{array}]$ ，判断 $A, B$ 是否为 $S$ 阵？

(2)、请你构造一个2阶 $S$ 阵 $M_{2}$ .若你构造的 $M_{2} = [\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}]$ ，在 $M_{2}$ 的基础上构造一个4阶 $S$ 阵 $M_{4} = [\begin{matrix} a & b & □ & □ \\ c & d & □ & □ \\ □ & □ & □ & □ \\ □ & □ & □ & □ \end{matrix}]$ 依据上依据上面的构造方法，在 $M_{4}$ 的基础上再构造一个8阶 $S$ 阵 $M_{8}$ ；

(3)、是否存在奇数阶 $S$ 阵？如果存在，写出阶数 $n$ 的最小值；如果不存在，说明理由.

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2、已知 $f (x) = 2 \sqrt{x} - a \ln x - a x - 1$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (1, 2)$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 存在两个不同的极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，求证： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 0$ ．

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3、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b^{2} < 4)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程和短轴长；

(2)、设直线 $l_{1} : y = k x + m$ 与椭圆 $E$ 相切于第一象限内的点 $P$ ，不过原点 $O$ 且平行于 $l_{1}$ 的直线 $l_{2}$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点A，B，点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $C$ ．记直线 $O P$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B C$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值．

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4、某超市销售 $5$ 种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：
牙膏品牌
$A$
$B$
$C$
$D$
$E$
销售价格
$15$
$25$
$5$
$20$
$35$
市场份额
$15 %$
$10 %$
$25 %$
$20 %$
$30 %$
（1）从这 $5$ 种不同品牌的牙膏中随机抽取 $1$ 管，估计其销售价格低于 $25$ 元的概率；
（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取 $20$ 管牙膏进行质检，其中 $A$ 和 $B$ 共抽取了 $n$ 管．
①求 $n$ 的值；
②从这 $n$ 管牙膏中随机抽取 $3$ 管进行氟含量检测．记 $X$ 为抽到品牌 $B$ 的牙膏数量，求 $X$ 的分布列和数学期望．
（3）品牌 $F$ 的牙膏下月进入该超市销售，定价 $25$ 元/管，并占有一定市场份额．原有 $5$ 个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管 $μ_{1}$ 元，下月牙膏的平均销售价为每管 $μ_{2}$ 元，比较 $μ_{1}, μ_{2}$ 的大小．（只需写出结论）

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5、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A ⊥ C B$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点， $C A = C B = 2$ ， $C C_{1} = 3$ .

(1)、求证： $A C_{1} //$ 平面 $B_{1} C D$ ；

(2)、若 $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $P$ 在棱 $A A_{1}$ 上，且 $P D ⊥$ 平面 $B_{1} C D$ ，求直线 $C P$ 与平面 $B_{1} C D$ 所成角的正弦值.

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $\cos 2 A = - \frac{1}{2}$ ， $a = 7$ ，且 $a < c$ ．

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $△ A B C$ 的面积．
条件①： $c = 8$ ， $C$ 为锐角；条件②： $\cos^{2} C = \frac{1}{49}$ ；条件③： $\sin B = \frac{3 \sqrt{3}}{14}$ ．

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7、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - (a + 1) x + 2 a, x < 1 \\ a |x - 2|, x \geq 1 \end{array}$ ，给出下列四个结论：
①当 $a < 0$ 时，函数 $f (x)$ 有三个极值点；
②当 $0 < a < 1$ 时，函数 $f (x)$ 有三个极值点；
③ $\forall a \in R$ ， $x = 2$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点；
④ $\forall a \in R$ ， $x = \frac{a + 1}{2}$ 不是函数 $f (x)$ 的极大值点．
其中，所有正确结论的序号是．

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8、已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ ．则 $C$ 的离心率是；若 $C$ 的一条渐近线与圆 $D : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $|A B| =$ ．

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9、已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + m = 0$ 关于直线对称，则直线 $l$ 方程.

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10、已知 $a = \log_{2} 3, 4 = 3^{b}$ ，则 $a b =$ .

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11、 $\{a_{n}\}$ 为公差不为零的等差数列， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和， $\{b_{n}\}$ 是等比数列， $T_{n}$ 是其前 $n$ 项和，则下列说法正确的是（）

A、对任意 $k \in N$ ， $k \geq 2$ ，如果 $S_{1} \cdot S_{2} \dots S_{2 k - 1} = 0$ ，那么 $a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{k} = 0$ B、存在 $k \in N$ ， $k \geq 2$ ，满足 $a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{k} = 0$ ，且 $S_{1} \cdot S_{2} \dots S_{2 k - 1} \neq 0$ C、对任意 $k \in N$ ， $k \geq 2$ ，如果 $T_{1} \cdot T_{2} \dots T_{k} = 0$ ，那么 $b_{k} + b_{k + 1} = 0$ D、存在 $k \in N$ ， $k \geq 2$ ，满足 $b_{k} + b_{k + 1} = 0$ ，且 $T_{1} \cdot T_{2} \dots T_{k} \neq 0$

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12、“ $△ A B C$ 为锐角三角形”是“ $\sin A > \cos B$ ， $\sin B > \cos C$ ， $\sin C > \cos A$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知点 $P$ 是圆 $C : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与曲线 $W : y^{2} = 8 x$ 的一个公共点，点 $Q (2, 0)$ .若 $△ P C Q$ 是等腰三角形，则满足条件的 $r$ 的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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14、已知函数 $f (x) = {log}_{2} x - x + 1$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(0, 1) \cup (2, + \infty)$

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15、已知 $a > b > 0$ ，下列不等式中正确的是（）

A、 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ B、 $a b < b^{2}$ C、 $a - b + \frac{1}{a - b} \geq 2$ D、 $\frac{1}{a - 1} < \frac{1}{b - 1}$

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16、将函数 $y = \sin (2 x - φ) (0 < φ < π)$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到的图象关于原点对称，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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17、下列函数中，是偶函数且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = e^{x}$ B、 $y = x - \frac{1}{x}$ C、 $y = |x^{3}|$ D、 $y = \cos x$

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18、在复平面内，复数 $z$ 的共轭复数对应的点的坐标是 $(- 1, 1)$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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19、若全集 $U = R$ ， $A = {x ∣ x < 1}$ ， $B = {x ∣ x > - 1}$ ，则（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $B \subseteq A$ C、 $B \subseteq ∁_{U} A$ D、 $∁_{U} A \subseteq B$

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20、已知函数 $f (x) = x + \ln (a x) + \frac{1}{a} x e^{x}$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若集合 $\{x |f (x) \geq - 1\}$ 有且只有一个元素，求a的值.

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牙膏品牌	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
销售价格	$15$	$25$	$5$	$20$	$35$
市场份额	$15 %$	$10 %$	$25 %$	$20 %$	$30 %$