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相关试卷

1、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度为 $\frac{5}{2}$ 米．设筒车上的桨个盛水简 $P$ 到水面的距离为 $y$ （单位：米）（在水面下则 $y$ 为负数）．若以盛水简 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间，则 $y$ 与时少 $t$ （单位：秒）之少的关系为 $y = A sin (ω t + φ) + K$ ，其中 $A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}$ ．

(1)、求 $A, ω, φ, K$ 的值；

(2)、当 $t \in (40, 50)$ 时，判断盛水筒 $P$ 的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由．

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2、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} sin 2 x - 2,cos x), \vec{b} = (1, 2 cos x)$ ．设 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，直接写出函数 $y = g (x)$ 的表达式；

(3)、求关于 $x$ 的方程 $f (x) + 2 = 0$ 在区间 $[0, π]$ 上的解集．

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3、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = - 5$ .

(1)、若 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 垂直，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - k \vec{b}$ 方向相反，求实数 $k$ 的值.

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4、对于实数 $x$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[- 2.1] = - 3, [2.1] = 2$ .已知 $f (x) = sin |x| + |sin x|$ ， $g (x) = [f (x)]$ ，则下列3个命题4，真命题的个数为（）
（1）函数 $y = g (x)$ 是周期函数；（2）函数 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称；（3）方程 $f (x) \cdot g (x) = x$ 有2个实数根.

A、0 B、1 C、2 D、3

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5、设 $n$ 是正整数，集合 $A = \{x | x = cos \frac{2 k π}{n}, k \in Z\}$ ．当 $n = 2024$ 时，集合 $A$ 元素的个数为（）

A、1012 B、1013 C、2023 D、2024

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其中 $a = \sqrt{6}$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，若满足条件的三角形有且只有两个，则角 $A$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{π}{3})$ B、 $(0, \frac{π}{6})$ C、 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ D、 $(0, \frac{π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}, π)$

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7、下列说法错误的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ， $\vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ C、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是非零向量且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同或者相反 D、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

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8、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 均为单位向量，下列结论中正确的是（填写你认为所有正确结论的序号）
（1）若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 且 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) \leq 0$ ，且 $|\vec{c}| = 1$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|$ 的取值范围为 $[\sqrt{2} - 1, 1]$ ；
（2）若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 且 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) \leq 0$ ，且 $|\vec{c}| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|$ 的取值范围为 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}]$ ；
（3）若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$ 且 $|\vec{a} + λ \vec{c}| \geq |\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{c}|$ 对任意实数 $λ$ 恒成立，则 $|\vec{a} + \vec{b}| + |\vec{c} - \vec{b}|$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ ；
（4）若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$ 且 $|\vec{a} + λ \vec{c}| \geq |\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{c}|$ 对任意实数 $λ$ 恒成立，则 $|\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}| + |\frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}|$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ .

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9、设 $a \in R, f (x) = \{\begin{cases} sin (4 π x - 4 π a), x < a \\ x + \frac{4 a^{2}}{x} + a - 8, x \geq a \end{cases}$ 若函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 内恰有7个零点，则 $a$ 的取值范围是.

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10、已知 $f (x) = sin (ω x)$ ，其中 $ω > 0$ .若函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}]$ 上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则 $ω$ 的取值范围为.

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11、窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7} A_{8}$ 的边长为10，点 $P$ 在其边上运动，则 $\vec{A_{1} A_{2}} \cdot \vec{A_{1} P}$ 的取值范围是.

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12、已知 $f (x) = sin (ω x + φ)$ ，其中 $ω > 0, 0 \leq φ < 2 π$ ，满足以下三个条件：（1）函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；（2）函数 $y = f (x)$ 的图象关为直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称；（3）函数 $y = f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{4})$ 上是严格减函数.则函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) =$ .

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13、在 $△ A B C$ 中， $tan A, tan B$ 是方程 $x^{2} - 6 x + 7 = 0$ 的两个根，则 $tan C =$ ．

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14、若 $α$ 为第二象限角， $\sin α = \cos 2 α$ ，则 $\sin α =$ ．

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15、若 $|\vec{A B}| = |\vec{A C}| = |\vec{A B} - \vec{A C}| = 2$ ，则 $|\vec{A B} + \vec{A C}| =$ ．

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16、已知平面上 $A, B$ 两点的坐标分别是 $(6, 5), (2, 1), P$ 为直线 $A B$ 上一点，且 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{P B}$ ，则点 $P$ 的坐标为.

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17、函数 $y = | \cos x |$ 的最小正周期为.

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18、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，侧面 $P A D$ 为正三角形，底面 $A B C D$ 为矩形， $M$ 是 $P D$ 的中点，且 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ .

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $A M$ 与直线 $P B$ 所成角的余弦值；

(3)、求平面 $A B M$ 与平面 $P B C$ 所成夹角的正弦值.

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19、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，则下列说法中正确的是（）．

A、 $|z_{1} + z_{2}| \leq |z_{1}| + |z_{2}|$ B、若 $|z_{1}| |z_{2}| = {|z_{1}|}^{2}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ C、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ D、 $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| = \frac{|z_{1}|}{|{\bar{z}}_{2}|}$

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20、在无穷数列 $\{a_{n}\}$ 中，令 $T_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ ，若 $\forall n \in N^{*}$ ， $T_{n} \in \{a_{n}\}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 对前 $n$ 项之积是封闭的．

(1)、试判断：任意一个无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ 对前 $n$ 项之积是否是封闭的？

(2)、设 $\{a_{n}\}$ 是无穷等比数列，其首项 $a_{1} = 2$ ，公比为 $q$ ．若 $\{a_{n}\}$ 对前 $n$ 项之积是封闭的，求出 $q$ 的两个值；

(3)、证明：对任意的无穷等比数列 $\{a_{n}\}$ ，总存在两个无穷数列 $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$ ，使得 $a_{n} = b_{n} \cdot c_{n} (n \in N^{*})$ ，其中 $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$ 对前 $n$ 项之积都是封闭的．

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