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相关试卷

1、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\sqrt{3} |\vec{a}| = \sqrt{3} |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则（）

A、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ B、 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}|$ C、若 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $△ O A B$ 的外接圆半径长为 $|\vec{a}|$ D、若 $|\vec{a}| = 1$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$ ，则 $|\vec{c}|$ 的最大值是 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}$

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2、若函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称， $f (x)$ 在定义域 $R$ 上单调递增，则不等式 $f (\sin x + 3) + f (\sqrt{3} \cos x) > 0$ 的解是（）

A、 $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ B、 $(2 k π - \frac{π}{3}, 2 k π + \frac{5 π}{6})$ ， $k \in Z$ C、 $(2 k π - \frac{π}{2}, 2 k π + \frac{5 π}{6})$ ， $k \in Z$ D、 $(k π - \frac{π}{3}, k π + \frac{2 π}{3})$ ， $k \in Z$

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3、水是生命之源，我国是一个严重缺水的国家，保护水资源是每个公民的义务．在日常生活中淡水需过滤后才能作为饮用水供人们生活使用，假设某工厂在淡水的过滤过程中的各种有害物质的残留数量Y（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系满足 $Y = Y_{0} e^{- λ t} (t \geq 0)$ ，其中 $λ$ 为正常数， $Y_{0}$ 为原有害物质数量．该工厂某次过滤淡水时，若前4个小时淡水中的有害物质恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤4小时，淡水中有害物质的残留量约为原有害物质的（）

A、5% B、3% C、2% D、1%

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4、 $△ A B C$ 的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若 $\vec{B E} = - x \vec{A B}$ ， $\vec{B F} = y \vec{B C}$ （ $x, y > 0$ ），则xy的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、4

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5、在正方形ABCD中，P是BC的中点，AP与BD交于点Q，则 $\vec{A Q}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量是（）

A、 $\vec{A B}$ B、 $- \vec{A B}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{A B}$

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6、已知函数 $f (x) = \ln \frac{e x + e}{x - 1} + m \sin x$ （e为自然对数的底数），且 $f (2) = 2024$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、2024 B、 $- 2024$ C、2022 D、 $- 2022$

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7、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是不共线的单位向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ，若 $|\vec{a}| = \sqrt{7}$ ，则 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、60° D、120°

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8、已知复数z满足 $(1 - i) z = 3 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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9、已知双曲函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 2^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{2^{x} - 2^{- x}}{2}$ .

(1)、证明： $f^{2} (x) - g^{2} (x) = 1$

(2)、判断函数 $g (x)$ 的单调性（不用证明），并解关于x的不等式 $g (9^{x} + 30) \leq g (3 + 12 \cdot 3^{x})$ .

(3)、若 $\forall x \geq 1$ ，不等式 $a \cdot g (x) \geq f (x) + \frac{1}{2}$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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10、已知 $f (x) = x^{2} - 2 x + a \ln x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极值，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) - a x$ ，求函数 $g (x)$ 的单调递增区间；

(3)、若 $a = 2$ ，存在正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = x_{1} + x_{2}$ 成立，求 $x_{1} + x_{2}$ 的取值范围.

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11、已知 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} - 3 x$ （ $a \in R$ ）在 $x = - 3$ 处取得极值.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的最大值和最小值.

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12、已知点 $A (1, 0)$ ，点Р是圆C： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 8$ 上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．

(1)、求点E的轨迹方程；

(2)、若直线 $y = k x + m$ 与点E的轨迹有两个不同的交点F和Q，且原点О总在以FQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

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13、已知函数 $f (x) = \frac{3}{e^{x} + 1} + x^{3}$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，则 $f (2020) + f (- 2020) + f^{'} (2021) - f^{'} (- 2021)$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、如图是函数 $y = f (x), x \in [- 4, 3]$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $[- 4, - 1] \cup$ $[1, 3]$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 3)$ 上的最大值为3，最小值为 $- 2$ D、 $f (x)$ 在 $[- 1, 3]$ 上有最大值3，有最小值 $- 2$

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15、定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列 $1, 2, 3$ 经过第一次“和扩充”后得到数列 $1, 3, 2, 5, 3$ ；第二次“和扩充”后得到数列 $1, 4, 3, 5, 2, 7, 5, 8, 3$ ．设数列 $a, b, c$ 经过 $n$ 次“和扩充”后得到的数列的项数为 $P_{n}$ ，所有项的和为 $S_{n}$ ．

(1)、若 $a = 2, b = 3, c = 4$ ，求 $P_{2}, S_{2}$ ；

(2)、求不等式 $P_{n} \geq 2024$ 的解集；

(3)、是否存在数列 $a, b, c (a, b, c \in R)$ ，使得数列 $\{S_{n}\}$ 为等比数列？请说明理由．

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为8，右焦点为 $F$ ，直线 $l : y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 与双曲线在一､三象限的交点分别为 $P, Q$ ，且 $F P ⊥ F Q$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程及 $△ P Q F$ 的面积；

(2)、直线 $y = k x + n (k \neq 0)$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若直线 $P A ､ P B$ 与 $x$ 轴分别交于点 $A_{1}, B_{1}$ ，且 $|P A_{1}| = |P B_{1}|$ ．证明： $k$ 为定值．

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17、为增加学生对于篮球运动的兴趣，学校举办趣味投篮比赛，第一轮比赛的规则为：选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的 $A, B, C$ 三个位置分别投篮一次．在三个位置均投进得10分；在 $C$ 处投进，且在 $A, B$ 两处至少有一处未投进得7分；其余情况（包括 $A ､ B ､ C$ 三处均不投进）保底得4分．已知小王在 $A, B, C$ 三处的投篮命中率分别为 $\frac{4}{5}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2}$ ，且在三处的投篮相互独立．

(1)、设 $ξ$ 为小王同学在第一轮比赛的得分，求 $ξ$ 的分布列和期望；

(2)、若第二轮比赛中设置两种参赛方法．方法1：按第一轮比赛规则进行比赛；方法2：选手可以选择在 $C$ 处缩短投篮距离0.5米，但得分会减少 $a (1 \leq a \leq 3)$ 分．选手可以任选一种规则参加比赛．若小王在 $C$ 处缩短投篮距离0.5米后，投篮命中率会增加 $b (0 < b < \frac{1}{2})$ ．请你根据统计知识，帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好．

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18、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C, A C = B C = A A_{1} = 4$ ， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形，且 $∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}, D$ 为 $C C_{1}$ 中点．

(1)、证明： $A_{1} D ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；

(2)、求二面角 $D - A_{1} B - C$ 的余弦值．

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} - a ln (x + 1)$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线过点 $(2, 1)$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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20、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l : x - m y + 1 = 0$ 交抛物线于 $M, N$ 两点， $A$ 为抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴的交点，直线 $N F, M F$ 分别交抛物线于 $P, Q$ 两点（点 $P, Q$ 异于点 $M$ ， $N$ ）， $O$ 为坐标原点，则实数 $m$ 的取值范围为； $\frac{|A M| \cdot |A Q|}{|A P| \cdot |A N|} =$ ．

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