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相关试卷

1、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 10$ ， $|\vec{b}| = 6$ ，且 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，设 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $λ \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2、如图，这是水平放置的四边形，按照斜二测画法画出的直观图 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，其中 $A^{'} D^{'} = 2$ ， $B^{'} C^{'} = 4$ ， $A^{'} B^{'} = 1$ ， $A^{'} D^{'} / / B^{'} C^{'}$ ，则四边形 $A B C D$ 的周长是（）

A、8 B、 $7 + \sqrt{5}$ C、 $8 + 2 \sqrt{2}$ D、 $7 + 2 \sqrt{2}$

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3、复数 $z_{1} = 12 + 3 i$ ， $z_{2} = - i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则复数 $z = z_{1} \cdot z_{2}$ 在复平面内所对应的点在第（）象限.

A、一. B、二. C、三. D、四.

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4、已知 $A = \{x |y = {log}_{2} (x + 1)\}$ ， $B = \{x |- 2 \leq x \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2, 2]$ B、 $(- 1, 2]$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $[- 1, 2)$

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5、已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角 $∠ A C D$ 的平分线，CB与AD相交于点O， $A C = 5$ ， $A D = 7$ ， $\cos ∠ A C D = - \frac{1}{5}$ .

(1)、求 $\sin ∠ A C O$ 的值；

(2)、求 $C O$ 的长；

(3)、若 $B C = B D$ ，求 $△ A B D$ 的面积.

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6、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $D_{1} D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D_{1} D = 2$ ， $A B = 6$ ， $A_{1} B_{1} = 3$ .

(1)、求证： $A_{1} A / /$ 平面 $C_{1} B D$ ；

(2)、求直线 $A_{1} A$ 到平面 $C_{1} B D$ 的距离.

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7、已知 $△ A B C$ 中， $2 (\cos^{2} A - \cos^{2} B + \sin^{2} C) = \sin B \sin C$ .

(1)、求 $\cos A$ 的值；

(2)、 $D$ 为边 $B C$ 的中点，若 $A D = A B$ ，求 $\frac{\sin C}{\sin B}$ .

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8、在 $△ A B C$ 中，D是 $A B$ 边上靠近B的三等分点，若 $∠ A C D = \frac{π}{3}$ ， $A D = \sqrt{3}$ .① $△ A B C$ 面积的最大值；② $B C$ 的最小值.

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9、在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M，N，设 $A B = m A M, A C = n A N$ ，则 $4 m + n =$ ．

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10、如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取 $A, B$ 两点，从 $A, B$ 两点分别测得树尖的仰角为 $30^{°}, 45^{°}$ ，且 $A, B$ 两点间的距离为 $60m$ ，则树的高度为m.

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11、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD为菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = A D = A A_{1} = 2$ ， P为 $C C_{1}$ 的中点，点Q满足 $\vec{D Q} = λ \vec{D C} + μ \vec{D D_{1}} (λ \in [0, 1], μ \in [0, 1])$ ，则下列结论中正确的是（）

A、若 $λ + μ = \frac{1}{3}$ ，则四面体 $A_{1} B P Q$ 的体积为定值 B、若 $△ A_{1} B Q$ 的外心为O，则 $\vec{A_{1} B} \cdot \vec{A_{1} O}$ 为定值2 C、若 $A_{1} Q = \sqrt{5}$ ，则点Q的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2} π}{4}$ D、若 $λ = 1$ 且 $μ = \frac{1}{2}$ ，则存在点 $E \in A_{1} B$ ，使得 $A E + E Q$ 的最小值为 $\sqrt{9 + 2 \sqrt{10}}$

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12、如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，若动点 $P$ 在以 $A B$ 为直径的半圆上（正方形 $A B C D$ 内部，含边界），则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2, 20]$ B、 $[0, 16]$ C、 $(0, 18]$ D、 $[0, 24]$

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13、已知 $△ A B C$ 的三个顶点在以 $O$ 为球心的球面上，且 $\cos A = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $B C = 1$ ， $A C = 3$ ，三棱锥 $O - A B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{14}}{6}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $36 π$ B、 $16 π$ C、 $12 π$ D、 $\frac{16 π}{3}$

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14、已知 $α$ ， $β$ 表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A、若 $b / / a$ ， $a \subset α$ ，则 $b / / α$ B、若 $a \subset α$ ， $b \subset α$ ， $c ⊥ a$ ， $c ⊥ b$ ，则 $c ⊥ α$ C、若 $a \subset α$ ， $b \subset α$ ， $a / / β$ ， $b / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $a ⊥ α$ ， $a / / b$ ，则 $b ⊥ α$

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15、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位： $cm$ ），那么该壶的容积约为（）

A、 ${100cm}^{3}$ B、 ${200cm}^{3}$ C、 ${300cm}^{3}$ D、 ${400cm}^{3}$

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16、已知 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{c}$ 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）

A、 $\overset{⃑}{a} / / \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{b} / / \overset{⃑}{c}$ ，则 $\overset{⃑}{a} / / \overset{⃑}{c}$ B、若 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = \overset{⃑}{c} \cdot \overset{⃑}{b}$ 且 $\overset{⃑}{b} \neq \overset{⃑}{0}$ ，则 $\overset{⃑}{a} = \overset{⃑}{c}$ C、 $|\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}| = |\overset{⃑}{a}| |\overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 同向 D、若 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 是非零向量，且 $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}| = |\overset{⃑}{a}| + |\overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 同向

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17、已知向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (0, 2 \sqrt{3})$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b} - \vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

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18、三个不互相重合的平面将空间分成 $n$ 个部分，则 $n$ 不可能是（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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19、已知复数z满足 $(1 + i) \cdot z = 1 - i^{2025}$ ，其中i为虚数单位，则z的虚部为（）

A、i B、 $- 1$ C、 $- i$ D、1

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20、记 $|M|$ 表示有穷集合 $M$ 的元素个数．已知 $m, n$ 是正整数，集合 $S = \{1, 2, \dots, n\}$ ．若集合序列 $Q : A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}$ 满足下列三个性质，则称 $Q$ 是“平衡序列”：
① $|A_{k}| \geq 2$ ，其中 $k = 1, 2, \dots, m$ ；
② $A_{k}$ ⫋ $S$ ，其中 $k = 1, 2, \dots, m$ ；
③对于 $S$ 中的任意两个不同元素 $i, j$ ，都存在唯一的 $k \in \{1, 2, \dots, m\}$ ，使得 $\{i, j\} \subseteq A_{k}$ ．

(1)、设 $m = n = 5$ ，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
$Q_{1} : \{1, 2\}, (1, 3, 4, 5), \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{2, 5\}$
$Q_{2} : \{1, 2, 3\}, \{1, 4, 5\}, \{2, 4\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}$

(2)、已知 $n \geq 3$ 且集合序列 $Q : A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}$ 是“平衡序列”，对于 $i = 1, 2, \dots, n$ ，定义： $B_{i} = \{k ∣ i \in A_{k}, k = 1, 2, \dots, m\} .$ 证明：
（i）当 $1 \notin A_{1}$ 时， $|B_{1}| \geq |A_{1}|$ ；
（ii） $m \geq n$ ．

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