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相关试卷

1、在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 $A B C D$ ， $A D E F$ 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子 $M, N$ 分别在正方形对角线 $A E$ 和 $B D$ 上移动，且 $E M$ 和 $D N$ 的长度保持相等，记 $E M = D N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ，活动弹子 $Q$ 在 $E F$ 上移动.

(1)、求证：直线 $M N / /$ 平面 $C D E$ ；

(2)、 $Q$ 为 $E F$ 上的点，求 $E B$ 与平面 $Q C D$ 所成角的正弦值的最大值.

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2、质量监督局检测某种产品的三个质量指标 $x, y, z$ ，用综合指标 $Q = x + y + z$ 核定该产品的等级.若 $Q \leq 5$ ，则核定该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
$A_{1}$
$A_{2}$
$A_{3}$
$A_{4}$
$A_{5}$
质量指标（ $x, y, z$ ）
$(1, 1, 2)$
$(2, 1, 2)$
$(2, 2, 2)$
$(1, 3, 1)$
$(1, 2, 3)$
产品编号
$A_{6}$
$A_{7}$
$A_{8}$
$A_{9}$
$A_{10}$
质量指标（ $x, y, z$ ）
$(1, 2, 2)$
$(2, 3, 1)$
$(3, 2, 1)$
$(1, 1, 1)$
$(2, 1, 1)$
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件 $B$ 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足 $Q \leq 4$ ”，求事件 $B$ 的概率.

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3、直线l经过两直线 $l_{1}$ ： $3 x + 4 y - 2 = 0$ 和 $l_{2}$ ： $2 x + y + 2 = 0$ 的交点.

(1)、若直线l与直线 $3 x + y - 1 = 0$ 垂直，求直线l的方程；

(2)、若点 $A (3, 1)$ 到直线l的距离为5，求直线l的方程.

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4、在空间直角坐标系中，已知向量 $\vec{u} = (a, b, c), (a b c \neq 0)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，点 $P (x, y, z)$ ，若平面 $α$ 经过点 $P_{0}$ ，且以 $\vec{u}$ 为法向量， $P$ 是平面 $α$ 内的任意一点，则平面 $α$ 的方程为： $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .由以上的理论，已知一平面 $E$ 和直线 $A B$ 垂直， $A$ 为其垂足，若 $A (4, 3, - 2), B (5, - 2, 1)$ ，平面 $E$ 的方程式是

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5、已知 $A (3 ， 0) ， B (0 ， 3)$ ，从点 $P (0 ， 2)$ 射出的光线经x轴反射到直线 $A B$ 上，又经过直线 $A B$ 反射回到时 $P$ 点，则光线所经过的路程为．

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6、如图是一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件 $A$ 和事件 $B$ ，其中 $n (Ω) = 24$ ， $n (A) = 12$ ， $n (B) = 8$ ， $n (A \cup B) = 16$ ，那么 $P (\bar{A} \bar{B}) =$

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7、直线 $l : m x - y + 1 - 2 m = 0$ 与圆C： $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 10$ 相交所形成的弦中长度最短的弦长为

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8、直线 $l : x - y - 1 = 0$ 上的一点 $P$ ，到 $A (4, 1)$ 与 $B (0, 4)$ 的距离之差的绝对值的最大值为.

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9、已知点A（1，2）在圆C： $x^{2} + y^{2} + m x - 2 y + 2 = 0$ 外，则实数m的取值范围为.

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10、若直线 $y = x + b$ 与曲线 $y = 3 - \sqrt{4 x - x^{2}}$ 有公共点，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $[1 - 2 \sqrt{2}, 3]$ B、 $[1 - 2 \sqrt{2}, 4]$ C、 $[- 1, 3]$ D、 $(- 2 \sqrt{2}, 4]$

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11、已知直线 $l : (m + 2) x + (m - 1) y + m - 1 = 0$ ，若直线 $l$ 与连接 $A (- 1, 0)$ 、 $B (4, 2)$ 两点的线段总有公共点，则直线 $l$ 的斜率的范围为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$ B、 $[- 1, \frac{3}{4}]$ C、 $(\frac{3}{4}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{3}{4}]$

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12、在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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13、正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 各棱长均为 $1$ ， $D$ 为 $A A_{1}$ 的中点，那么四面体 $A_{1} B C D$ 的体积（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{24}$

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14、函数 $y = f (x)$ 的图象与函数 $y = l n (x - 1)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则 $f (x) =$ （）

A、 $- l n (x - 1)$ B、 $l n (- x + 1)$ C、 $l n (- x - 1)$ D、 $l n (x + 1)$

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15、函数 $y = {log}_{2} \frac{1}{x - 1} (x \in (1 ， + \infty))$ 的反函数是（）

A、 $y = 2^{- x} + 1 (x \in R)$ B、 $y = - 2^{x - 1} (x \in (1 ， + \infty))$ C、 $y = 2^{1 - x} (x \in R)$ D、 $y = 2 \frac{1}{x - 1}$ （ $x \in R ，$ $x \neq 1$ ）

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16、若 $0 \leq α < 2 π$ ，且 $2 \sin α \leq 1$ ，则 $α$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 2 π)$ B、 $[0, \frac{π}{3}] \cup [\frac{5 π}{3}, 2 π)$ C、 $[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]$ D、 $[0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{5 π}{6}, 2 π)$

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17、复数 $\frac{{(1 - 2 i)}^{2}}{{(2 + i)}^{2}}$ 的模为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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18、设集合 $A = {x | | x - 1 | < 1}$ ， $B = {x | 2^{x} < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x | 0 < x < 1\}$ B、 $\{x | 0 < x < 2\}$ C、 $\{x | x < 2\}$ D、 $\emptyset$

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19、已知全集 $U = \{x ∣ - 3 < x < 3\}$ ，集合 $A = \{x ∣ - 2 < x \leq 1\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- 2, 1]$ B、 $(- 3, - 2) \cup [1, 3)$ C、 $(- 3, - 2] \cup (1, 3]$ D、 $(- 3, - 2] \cup (1, 3)$

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20、已知 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ ， $\sin (α - β) = \frac{4}{5}$ ， $\tan α \cdot \tan β = 2$ ，则 $\sin α \sin β =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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产品编号	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$
质量指标（ $x, y, z$ ）	$(1, 1, 2)$	$(2, 1, 2)$	$(2, 2, 2)$	$(1, 3, 1)$	$(1, 2, 3)$
产品编号	$A_{6}$	$A_{7}$	$A_{8}$	$A_{9}$	$A_{10}$
质量指标（ $x, y, z$ ）	$(1, 2, 2)$	$(2, 3, 1)$	$(3, 2, 1)$	$(1, 1, 1)$	$(2, 1, 1)$