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相关试卷

1、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $B_{1} C$ 上运动，则下列结论正确的是（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、三棱锥 $P - A_{1} C_{1} D$ 的体积为定值 C、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ D、当P为 $B_{1} C$ 的中点时，直线 $C_{1} P$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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2、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (x - 1)$ 是奇函数，当 $- 1 < x < 1$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 1]$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为4 C、 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上有3个零点 D、 $f (5) = f (4)$

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3、下列选项中，值为 $\frac{1}{4}$ 的是（）

A、 $sin 15^{\circ} sin 75^{\circ}$ B、 $cos 36^{\circ} cos 72^{\circ}$ C、 $\frac{sin 56^{\circ} + sin 4^{\circ}}{cos 56^{\circ} + cos 4^{\circ}}$ D、 $\frac{tan 15^{\circ}}{1 + {tan}^{2} 15^{\circ}}$

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4、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且满足 $|B D| = \frac{1}{4} |B C|$ ，点 $E$ 为线段 $A D$ 上任意一点（除端点外），若实数 $x$ ， $y$ 满足 $\vec{B E} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2} + 6$ C、 $2 \sqrt{2} + 5$ D、9

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5、设函数 $y = f (x) - x^{2}$ 是奇函数.若函数 $g (x) = f (x) + 5, f (4) = 9$ ，则 $g (- 4) =$ （）

A、28 B、33 C、38 D、43

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6、若 $s i n (π - α) = \frac{1}{3}$ ，且 $\frac{π}{2} < α < π$ ，则 $s i n 2 α$ 的值为 $($ 　　 $)$

A、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{9}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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7、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，则“ $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ ”是“ $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知 $α$ 是第二象限的角， $P (x, 3)$ 为其终边上的一点，且 $sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $x =$ （）

A、-6 B、 $\pm 6$ C、 $\pm 6 \sqrt{2}$ D、 $- 6 \sqrt{2}$

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9、复数 $\frac{1 - i}{i}$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、i

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10、已知命题 $p : \forall x \in R, e^{x} - x - 1 > 0$ ，则 $\neg p$ 是（）．

A、 $\forall x \in R, e^{x} - x - 1 \leq 0$ B、 $\forall x \in R, e^{x} - x - 1 < 0$ C、 $\exists x_{0} \in R, e^{x_{0}} - x_{0} - 1 < 0$ D、 $\exists x_{0} \in R, e^{x_{0}} - x_{0} - 1 \leq 0$

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11、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1\}, B = [0, + \infty)$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{1\}$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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12、已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 为单调递增的等比数列， $b_{2} = 2$ ，且 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3} - 1$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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13、我们将借助导数求随机变量的期望和方差的方法称为微分恒等式法，微分恒等式法既可以用于实验次数有限的情况，也可以用于实验次数无限的情况．微分恒等式法的一个应用案例如下：
关于x的恒等式满足 $x + (1 - x) x + {(1 - x)}^{2} x + \dots + {(1 - x)}^{k - 1} x + \dots = 1$ ，
对等式两边求导可得 $1 - x + (1 - x) - 2 (1 - x) x + {(1 - x)}^{2} + \dots - (k - 1) {(1 - x)}^{k - 1} x + {(1 - x)}^{k - 1} + \dots = 0$ ．
移项得 $1 + (1 - x) + {(1 - x)}^{2} + \dots + {(1 - x)}^{k - 1} + \dots = x + 2 (1 - x) x + \dots + (k - 1) {(1 - x)}^{k - 1} x + \dots$ ．
某校师生在操场上欢庆元旦，其中有一项套圈活动备受欢迎，活动规则为每人累计 $k (k \in N^{*})$ 次未套中时则停止套圈，否则可以继续套圈．若每人每次套中的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，且每次套中与否互不影响，每次套中后积1分，将每位参与活动的师生所得积分记为随机变量X．

(1)、若 $k = 1$ ， $p = \frac{1}{2}$ ，求 $X = 3$ 的概率；

(2)、求 $X = 0$ ， $X = 1$ ， $X = n (n \in N)$ 的概率，并写出随机变量X的分布列；

(3)、用微分恒等式法求随机变量X的数学期望 $E (X)$ ，并据此估计当 $k = 3$ ， $p = 0.75$ 时每位参与该项活动的师生的积分．

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14、已知直线 $l_{1} : a^{2} x + y - 3 a^{2} - 5 = 0$ 与 $l_{2} : x - a^{2} y + 3 a^{2} - 5 = 0$ 相交于点P，点Q在圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 上，则（）．

A、 $|P Q|$ 有最大值 $6 \sqrt{2}$ B、 $|P Q|$ 有最大值 $5 \sqrt{2}$ C、 $|P Q|$ 有最小值 $3 \sqrt{2}$ D、 $|P Q|$ 有最小值 $2 \sqrt{2}$

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15、已知函数 $f (x) = {sin}^{n} x + {cos}^{n} x (n = 2 k, k \in N^{*})$ ．

(1)、当 $n = 4$ 时，判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、利用三角恒等变换，分别求函数 $f (x)$ 在 $n = 2$ ， 4，6时的取值范围；

(3)、请结合（2）的结果猜想函数 $f (x)$ 的取值范围，然后证明你的猜想，并求方程 $f (x) = \frac{1}{2025}$ 有解时n的最小值．

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16、下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = e^{x} - e^{- x}$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = \log_{2} x$

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17、定义函数 $f (x) = m sin x + n cos x$ 的“源向量”为 $\vec{O M} = (m, n)$ ，非零向量 $\vec{O M} = (m, n)$ 的“伴随函数”为 $f (x) = m sin x + n cos x$ ，其中 $O$ 为坐标原点．

(1)、若向量 $\vec{O M}$ 的“伴随函数”为 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})$ ，求与 $\vec{O M}$ 向量方向相同的单位向量；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若函数 $h (x)$ 的“源向量”为 $\vec{O M} = (0, 1)$ ，且已知 $a = 8, h (A) = \frac{3}{5}$ ；
（ⅰ）求 $△ A B C$ 周长的最大值；
（ⅱ）求 $|\vec{A B} + \vec{A C}|$ 的最大值．

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18、已知函数 $f (x) = 3 \sqrt{3} sin x cos x + 3 {cos}^{2} x - \frac{3}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(3)、若 $f (x) = 2$ 且 $x \in [0, \frac{π}{6}]$ ，求 $f (x - \frac{π}{12})$ 的值．

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19、 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边，已知 $\sqrt{5} a \cos A = b \cos C + c \cos B$ ．

(1)、求 $cos A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{13}$ ， $b = \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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20、已知复数 $z = m^{2} + m - 2 + (m - 1) i (m \in R)$ .

(1)、若 $z$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $z$ 在复平面内对应的点在直线 $y = \frac{1}{3} x$ 上，求 $|z|$ .

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