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相关试卷

1、将函数 $f (x) = \sin x$ 图象上的所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再将图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 后得函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的解析式为（）

A、 $g (x) = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6})$ B、 $g (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$

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2、在直角坐标平面内， $△ A B C$ 的三顶点的坐标分别为 $A (- 1, - 1)$ ， $B (- 7, 2)$ ， $C (3, 7)$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、120 B、60 C、30 D、15

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3、已知复数z满足： $(1 + i^{2024}) z = 2 + 3 i$ （i为虚数单位），则z为（）

A、 $1 - \frac{3}{2} i$ B、 $1 + \frac{3}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{5}{2} i$ D、 $\frac{5}{2} + \frac{1}{2} i$

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4、已知函数 $f (x) = a x^{2} + \ln x, g (x) = 2 x + \frac{a}{2} \ln x$ .

(1)、若 $f (x) \geq g (x)$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、记 $f (x)$ 的零点为 $x_{1}, x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ）， $g (x)$ 的极值点为 $x_{0}$ ，证明： $\frac{x_{1}}{x_{2}} > 4 e x_{0}$ .

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5、某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式一回答问卷，否则按方式二回答问卷”.
方式一：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式二：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”.
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度 $= \frac{企业所有对新绩效方案满意的员工人数}{企业所有员工人数} \times 100 %$ .

(1)、求每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率

(2)、若该企业某部门有9名员工，用 $X$ 表示其中按方式一回答问卷的人数，求 $X$ 的数学期望；

(3)、若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为 $4 : 5$ ，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度.

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6、已知函数 $f (x) = 2 \ln x + a x^{2} - 4 a x + 3 a (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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7、某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的．

(1)、求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．

(2)、设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为 $X$ ， $Y$ ，求随机变量 $X$ ， $Y$ 的期望 $E (X)$ ， $E (Y)$ 和方差 $D (X)$ ， $D (Y)$ ，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．

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8、已知 $f (x) = a x^{3} - b x + 4, f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极小值 $- \frac{4}{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若方程 $f (x) + k = 0$ 有且只有一个实数根，求 $k$ 的取值范围.

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9、如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）．

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10、如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则质点回到原点的概率为.

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11、计算： $A_{8}^{2} - C_{8}^{6} =$ .

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12、已知(a＋b)ⁿ的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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13、若对于任意正数 $x ， y$ ，不等式 $x (1 + l n x) \geq x l n y - a y$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{e}]$ B、 $[\frac{1}{e^{3}}, \frac{1}{e}]$ C、 $[\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{e^{3}}, + \infty)$

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14、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）

A、4种 B、10种 C、18种 D、20种

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15、已知函数 $f (x) = |x + a| + b$ ，不等式 $f (x) < 4$ 的解集为 ${x ∣ 0 < x < 6}$ .

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、函数 $f (x)$ 的最小值为 $t$ ，若正实数 $m, n, p$ 满足 $m + 2 n + 3 p = t$ ，求 $\frac{1}{m + 2 p} + \frac{1}{2 n + p}$ 的最小值.

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 2 + \cos α \\ y = \sin α \end{cases}$ （ $α$ 为参数）.

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.若 $A$ 为曲线 $C$ 上任意一点，将 $O A$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $O B$ ，求线段 $A B$ 中点 $M$ 的轨迹的极坐标方程.

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17、已知函数 $f (x) = 2 a e^{x} - \sqrt{x}$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{8}$ 时，判断 $f (x)$ 的零点个数并说明理由；

(2)、若存在 $b \in (0, + \infty)$ ，使得当 $x \in (b, b + 2024)$ 时， $f (x) > e^{x} - a ln (x + 1) + 2 a - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{5} = 1 (a > 0)$ 的左､右顶点分别为 $A, B$ ，右焦点为 $F$ .过点 $F$ 的直线与双曲线 $C$ 相交于 $M, N$ 两点，点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $S$ ，且直线 $A M, B S$ 的斜率之积为 $- \frac{5}{4}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $B M, B N$ 分别与直线 $x = 1$ 相交于 $P, Q$ 两点，求证：以 $P Q$ 为直径的圆经过 $x$ 轴上的定点，并求出定点的坐标.

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19、如图，在正四面体 $P - A B C$ 中， $E, F$ 是棱 $P C$ 的两个三等分点．

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、求出二面角 $P - A B - E, E - A B - F, F - A B - C$ 的平面角中最大角的余弦值．

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20、某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ．

(1)、已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生 $A$ 的成绩为76分，试估计学生 $A$ 在甲市的大致名次；

(2)、在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记 $X$ 表示在本次考试中化学成绩在 $(μ - 3 σ, μ + 3 σ)$ 之外的人数，求 $P (X \geq 1)$ 的概率及 $X$ 的数学期望．
参考数据： ${0.9974}^{40} \approx 0.9011$
参考公式：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，有 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826$ ， $\begin{array}{r} P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544, P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9974. \end{array}$

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