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相关试卷

1、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，动点P满足 $\vec{B_{1} P} = λ \vec{B_{1} D_{1}} (λ \in R, λ \in [0, 1])$ ，则以下结论正确的为（）

A、 $\exists λ \in [0, 1]$ ，使直线 $A_{1} P ⊥$ 平面 $P B_{1} B$ B、 $\forall λ \in [0, 1]$ ，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 体积为定值 $\frac{4}{3}$ C、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，点P到AC的距离为 $\sqrt{5}$ D、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的外接球表面积为 $11 π$

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2、对于无穷数列 $\{a_{n}\}$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 既是等差数列，又是等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列 B、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $|a_{n}| \leq 2025$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列 C、若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $|a_{n}| \leq 2025$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列 D、若各项为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $1 \leq a_{n} \leq 2025$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列

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3、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l : (2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ ，则下列命题中正确的有（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(3, 1)$ B、圆 $C$ 被y轴截得的弦长为 $4 \sqrt{6}$ C、直线 $l$ 与圆 $C$ 恒相交 D、当直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最小时，直线 $l$ 的方程为 $2 x - y + 5 = 0$

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} + a_{n}^{2}$ ， $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，且 $\sum_{i = 1}^{2025} \frac{1}{a_{i} + 1} \in [m, m + 1)$ ， $m \in N^{*}$ ，则m等于（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{m - 1} = - 2$ ， $S_{m} = 0$ ， $S_{m + 1} = 3$ ，则m的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $(n + 2) a_{n + 1} = n a_{n}$ ，则它的前30项的和为（）

A、 $\frac{19}{29}$ B、 $\frac{28}{29}$ C、 $\frac{29}{30}$ D、 $\frac{30}{31}$

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7、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列结论中一定成立的是（）

A、若 $a_{6} > 0$ ，则 $S_{2 n} < 0$ B、若 $a_{6} > 0$ ，则 $S_{2 n} > 0$ C、若 $a_{5} > 0$ ，则 $S_{2 n + 1} < 0$ D、若 $a_{5} > 0$ ，则 $S_{2 n + 1} > 0$

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8、在公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3}$ ， $a_{7}$ ， $a_{m}$ 是公比为2的等比数列，则 $m =$ （）

A、11 B、13 C、15 D、17

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9、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $(3 \sqrt{2}, 2)$ ，且一条渐近线的倾斜角为30°，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $x^{2} - 4 y^{2} = 1$

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10、若a，b，l是空间中三条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，则下列命题中真命题是（）

A、若 $a // β$ ， $a \subset α$ ， $α \cap β = l$ ，则 $a // l$ B、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = l$ ， $a ⊥ l$ ，则 $a ⊥ β$ C、若 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $a // b$ ，则 $α // β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a ⊥ b$

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11、若条件 $p : x \leq 1$ ，且 $\neg p$ 是q的必要条件，则q可以是（）

A、 $x \geq 1$ B、 $x > 2$ C、 $x \leq 2$ D、 $x > 1$

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12、 $\sin 18 ° \cos 36 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{8}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5} - 3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

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13、在空间直角坐标系中，已知点 $A (- 2, 1, 2)$ ， $B (- 1, 2, 2)$ ， $C (- 3, 1, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ ．

(1)、若 $λ \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 3 \vec{b}$ 互相垂直，求 $λ$ 的值；

(2)、求点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离．

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14、已知 $A (1, 3, 2)$ ， $B (- 1, 4, 1)$ ， $C (5, y, z)$ ，若 $\vec{A B} ∥ \vec{A C}$ ，则 $2 y - z =$ （）

A、-2 B、2 C、-4 D、4

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $∠ A D C = 60 °$ ， $△ P A D$ 为正三角形， $O$ 为 $A D$ 的中点，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 是线段 $P C$ 上的点.

(1)、求证： $P C ⊥ B C$ ；

(2)、是否存在点 $M$ ，使得直线 $A M$ 与平面 $P A B$ 的夹角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，若存在；求出此时 $\frac{P M}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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16、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 2 a_{n} - n$ ， $b_{n} = a_{n} + 1$ .

(1)、证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = b_{n} \cdot \log_{2} b_{2 n + 1}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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17、已知圆心为 $N (3, 4)$ 的圆被直线 $x = 1$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求圆N的方程；

(2)、点 $B (3, - 2)$ 与点C关于直线 $x = - 1$ 对称，求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程．

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18、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点为 $F$ ，抛物线上的点 $(\frac{1}{2}, y_{0})$ 到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则 $p =$

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19、已知点 $P$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点， $F_{1} ， F_{2}$ 为其左、右焦点，且△ $F_{1} P F_{2}$ 的面积为3，则下列说法正确的是（）

A、P点到 $x$ 轴的距离为 $\frac{3}{2}$ B、 $∠ F_{1} P F_{2} > 90^{\circ}$ C、△ $F_{1} P F_{2}$ 的周长为 $4 (\sqrt{2} + 1)$ D、△ $F_{1} P F_{2}$ 的内切圆半径为 $\frac{3}{2} (\sqrt{2} - 1)$

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20、数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线 $y = a x^{2}$ 的一部分，其焦点坐标为 $(0, - 2)$ ，校门最高点到地面距离约为18米，则校门位于地面宽度最大约为（）

A、18米 B、21米 C、24米 D、27米

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