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相关试卷

1、函数 $f (x) = 2 x^{2} - a \ln x + 7$ 的单调递减区间是 $(0, 2)$ ，则 $a =$ （）

A、 $16$ B、 $6$ C、 $4$ D、 $2$

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2、在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $b = 2$ ，且 $(\sqrt{3} tan A - 1) (\sqrt{3} tan B - 1) = 4$ ，则（　　）

A、 $C = \frac{π}{3}$ B、a的取值范围为 $(\frac{1}{2} ， 2)$ C、 $\frac{a + b}{c}$ 的最大值为2 D、 $\sin^{2} A - \cos^{2} B$ 的取值范围为 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$

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3、下列说法正确的是（）

A、数据 $8, 6, 4, 11, 3, 7, 9, 10$ 的上四分位数为9 B、若 $0 < P (C) < 1$ ， $0 < P (D) < 1$ ，且 $P (\bar{D}) = 1 - P (D |C)$ ，则 $C, D$ 相互独立 C、根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 $\hat{y} = 0.4 x + a$ ，若其中一个散点坐标为 $(- a, 5.4)$ ，则 $a = 9$ D、将两个具有相关关系的变量 $x, y$ 的一组数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， …， $(x_{n}, y_{n})$ 调整为 $(x_{1}, y_{1} + 3)$ ， $(x_{2}, y_{2} + 3)$ ， …， $(x_{n}, y_{n} + 3)$ ，决定系数 $R^{2}$ 不变
（附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \hat{y_{i}})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ）

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4、为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为 $y$ 米，宽为 $x$ 米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为 $(4 x + y + 5)$ 米，宽为1米的矩形的面积.

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数；

(2)、若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？

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5、 $\sin 1215 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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6、设 $A$ 是直线 $P Q$ 外一点，点 $M$ 在直线 $P Q$ 上（点 $M$ 与点 $P$ 、 $Q$ 任一点均不重合），我们称如下操作为“由 $A$ 点对 $P Q$ 施以视角运算”：若点 $M$ 在线段 $P Q$ 上，记 $(P, Q; M) = \frac{|A P| sin ∠ P A M}{|A Q| sin ∠ M A Q}$ ；若点 $M$ 在线段 $P Q$ 外，记 $(P, Q; M) = - \frac{|A P| sin ∠ P A M}{|A Q| sin ∠ M A Q}$ $.$ 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，点 $D$ 在射线 $B C$ 上.

(1)、若 $D$ 是 $B C$ 的中点，由 $A$ 点对 $P Q$ 施以视角运算，求 $(B, C; D)$ 的值；

(2)、若 $A = 60^{\circ}$ ， $a = 4$ ， $A B ⊥ A D$ ，由 $A$ 点对 $B C$ 施以视角运算， $(B, C; D) = - 3$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、若 $A = 120^{\circ}$ ， $A D = 4$ $，$ 由 $A$ 点对 $B C$ 施以视角运算， $(B, C; D) = \frac{c}{b}$ $，$ 求 $b + 4 c$ 的最小值.

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7、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $△ A B C$ 的周长为 $\frac{3 b sin C}{sin B + sin C - sin A}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{21}$ ， $b = 4$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，且交 $B C$ 于点 $D$ ，求 $A D$ ．

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8、已知过球面上 $A, B, C$ 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 $A B = B C = 1, A C = \sqrt{3}$ ，则球的体积是.

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9、已知复数 $z = i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{2025}$ ，则 $\bar{z} =$ ．

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10、已知向量 $\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (t + 2, 3 - t)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t =$ .

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11、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，下列说法正确的是（）

A、若 $A$ 为锐角，则 $b^{2} + c^{2} > a^{2}$ B、若 $A$ 为锐角，则 $b^{2} + c^{2} < a^{2}$ C、若 $sin A > sin B$ ，则 $A > B$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $sin A > cos B$

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12、（多选题）下列四个命题中，真命题是（）

A、若 $a, b$ 是两条直线， $α, β$ 是两个平面，且 $a \subset α, b \subset β$ ，则 $a, b$ 是异面直线. B、两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. C、若直线 $m, n$ 相交， $α$ 是平面且 $m / / α$ ，则直线 $n$ 不在平面 $α$ 内. D、若 $α$ 是平面，直线 $l_{1} \subset α$ ，直线 $l_{2} / / α$ ，则 $l_{1} / / l_{2}$ .

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13、若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知 $z = \frac{a}{1 - 2 i} + b i$ （ $a$ ， $b \in R$ ）为“理想复数”，则

A、 $a - 5 b = 0$ B、 $3 a - 5 b = 0$ C、 $3 a + 5 b = 0$ D、 $a + 5 b = 0$

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14、已知 $△ A B C$ ，内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别是 $a, b, c, a = \sqrt{2}, b = \sqrt{3}, B = 60 °$ ，则 $A$ 等于（）

A、 $45 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ 或 $135 °$ D、 $30 °$ 或 $150 °$

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15、下列正确的是（）

A、过球面上两点与球心有且只有一个平面 B、用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 C、正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D、有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

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16、已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中 $A B = A C = 2$ ，则该平面图形的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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17、圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，则此圆柱的侧面积为（）

A、4 B、6 C、 $6 π$ D、 $4 π$

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18、复数 $\frac{1 - i}{1 + i} =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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19、已知二次函数 $y = x^{2} - 2 b x + 8 .$

(1)、当 $b = 3$ 时，当 $0 \leq x \leq 4$ 时，求 $y$ 的最大值和最小值；

(2)、若 $b$ 为任意实数，当 $0 \leq x \leq 4$ 时，求 $y$ 的最小值.

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20、若 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2} + 2 x - 2024 = 0$ 的两个根，试求下列各式的值：

(1)、 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ；

(2)、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ ；

(3)、 $| x_{1} - x_{2} |$ .

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