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相关试卷

1、在学校数学活动周中，高一年级举办了数学答题比赛.题目选自模块1或模块2.已知在模块1的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ 在模块2的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为p和q.假设甲、乙两人在每个模块中答对与否互不影响.每个人在各模块中的结果也互不影响.

(1)、若在正式比赛前，甲、乙作为代表参加模块1的循环答题热身赛.参赛者依次轮流答题，若答对则该选手获1枚印章，若答错则对手获1枚印章.连续获两枚印章的选手最终获胜.甲回答第1题，乙回答第2题，依次轮流答题.求到第4个问题甲获胜的概率.

(2)、在正式比赛中，每个选手均要参加两个模块的比赛，每个模块回答一个问题，答对者获1枚印章，答错没有印章.
（ⅰ）若 $p = \frac{3}{4}$ ， $q = \frac{2}{3}$ ，求甲、乙共获得3枚印章的概率；
（ⅱ）若甲没有获得印章，乙获得1枚印章的概率为 $\frac{1}{12}$ ，两人都获得两枚印章的概率为 $\frac{3}{20}$ .求甲、乙至少有1人获得印章的概率.

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2、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， $B = \frac{π}{3}$ ， AC边上的高等于 $\frac{\sqrt{3}}{2} A C$ .

(1)、求 $\cos A \cos C$ 的值；

(2)、若 $A B = 2$ ，求△ABC的面积.

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3、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面 $P A D$ 是正三角形，底面 $A B C D$ 是正方形，且侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D = 4$ ， E为侧棱 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P B / /$ 平面 $E A C$ ；

(2)、求三棱锥 $A - P D C$ 的体积.

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4、某芯片工厂生产甲型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这种芯片中抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)、求甲型芯片指标的平均数和第60百分位数；

(2)、现采用按比例分层抽样的方式，从甲型芯片指标在 $[70, 90)$ 内取6件，再从这6件中任取2件，求指标在 $[70, 80)$ 和 $[80, 90)$ 内各1件的概率.

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5、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且 $b \cos A + \sqrt{3} b \sin A - c - a = 0$ ，则 $\cos B =$ .

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6、哥德巴赫猜想被誉为“数学王冠上的明珠”，可以表述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 $30 = 7 + 23$ .素数是除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的大于1的自然数.在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是.

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7、如图1，已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， E为 $C D$ 中点，现将 $△ A E D$ 沿 $A E$ 翻折后得到如图2的四棱锥 $D^{'} - A B C E$ ，点F是线段 $D^{'} B$ 上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是（）

A、当F为线段 $D^{'} B$ 中点时， $C F / /$ 平面 $A D^{'} E$ B、 $D^{'} B ⊥ A E$ C、不存在点F，使 $C F ⊥$ 平面 $A B D^{'}$ D、当F为线段 $D^{'} B$ 中点时，过点A，E，F的截面交 $C D^{'}$ 于点M，则 $2 C M = D^{'} M$

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8、有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，其平均数、中位数、方差、极差分别记为 $a_{1}$ ， $b_{1}$ ， $c_{1}$ ， $d_{1}$ ，由这组数据得到新样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{n}$ ，其中 $y_{i} = k x_{i} + m$ （ $i = 1$ ， 2，…，n且 $k \neq 0$ ），其平均数、中位数、方差、极差分别记为 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ ， $d_{2}$ ，则（）

A、 $b_{2} = k b_{1} + m$ B、 $c_{2} = k^{2} c_{1}$ C、 $d_{2} = k d_{1} + m$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = n a_{1}^{2} + n c_{1}$

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9、设复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $Z$ ，原点为 $O$ ， $i$ 为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A、若点 $Z$ 的坐标为 $(1, 1)$ ，则 $\bar{z}$ 对应的点在第三象限 B、若 $2 \leq |z| \leq 2 \sqrt{2}$ ，则点Z的集合所构成的图形的面积为 $4 π$ C、若 $z = 2 i - 3$ 是关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} + p x + q = 0$ $(p, q \in R)$ 的一个根，则 $p + q = 38$ D、若 $z = 2 \sqrt{3} - i$ ，则 $z$ 的模为13

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10、我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”.已知棱台 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”， $A B = 2 A' B' = 4$ ， $B C = 2 B' C' = 4 \sqrt{3}$ ，则该“刍童”外接球的表面积为（）

A、 $\frac{80 \sqrt{5}}{3} π$ B、 $\frac{80}{3} π$ C、 $80 π$ D、 $5 \sqrt{5} π$

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11、已知两个随机事件A和B，其中 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{3}{8}$ ， $P (A \cup B) = \frac{3}{4}$ ，则 $P (A B) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{8}$

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12、设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，且 $α / / β$ ，则 $m / / n$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，且 $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = n$ ，且 $m ⊥ n$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m / / n$ ， $n / / β$ ，且 $m ⊥ α$ ，则 $α ⊥ β$

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13、已知 $\sin (α + β) = m$ ， $\sin (α - β) = n$ ，则 $\frac{\tan α}{\tan β} =$ （）

A、 $\frac{m - n}{m + n}$ B、 $\frac{m + n}{m - n}$ C、 $\frac{n - m}{n + m}$ D、 $\frac{m + n}{n - m}$

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14、和 $\vec{a} = (3, 1)$ 垂直的一个单位向量的坐标可以是（）

A、 $(2, - 6)$ B、 $(- \frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{3 \sqrt{10}}{10})$ C、 $(- 6, 2)$ D、 $(\frac{3 \sqrt{10}}{10}, - \frac{\sqrt{10}}{10})$

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15、一组数据2，2，5，5，8，14，15，17的第25百分位数是（）

A、3.5 B、2 C、4.5 D、5

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16、 $\frac{i - 5}{i}$ （ $i$ 为虚数单位）的虚部为（）

A、 $- 1$ B、5 C、 $- 5 i$ D、 $- 5$

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17、设函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x)$ 的一个零点为 $x = - \frac{π}{6}$ D、 $f (x)$ 的最大值为1

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18、设 $t > 1$ ， $n \geq 1$ ， $n \in N$ ，若各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{t} a_{n} < a_{n + 1} < a_{n}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质“ $P (t)$ ”．

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 1 - a_{n} (n \in N^{*})$ ，试判断数列 $\{a_{n}\}$ 是否具有性质“ $P (4)$ ”，并说明理由；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{2}{3}$ ，且 $a_{n + 1} = ln (e^{a_{n}} - 1) - ln a_{n} (n \in N^{*})$ ．
（i）证明：数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质“ $P (3)$ ”；
（ii）记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} \geq 1 - \frac{1}{3^{n}} (n \in N^{*})$ ．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{\ln (a x)}{x - 1}$ .

(1)、已知 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, - 1]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = \frac{2}{e}$ 时，证明：若 $x_{1} \in (0, 1), x_{2} \in (1, + \infty)$ ，则 $f (x_{1}) - f (x_{2}) > \frac{3}{2}$ .
（参考数据： $e^{2} \approx 7.39, e^{3} \approx 20.09, e^{4} \approx 54.60$ ）

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20、在梯形 $A B C D$ 中， $A B$ $∥$ $C D, ∠ B A D = 60^{\circ}, A B = 2 A D = 2 C D = 4, P$ 为 $A B$ 的中点，线段 $A C$ 与 $D P$ 交于 $O$ 点，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起到 $△ A C D^{'}$ 的位置，使得平面 $A C B ⊥$ 平面 $A C D^{'}$ .

(1)、求证： $B C$ $∥$ 平面 $P O D^{'}$ ；

(2)、线段 $P D^{'}$ 上是否存在点 $Q$ ，使得 $C Q$ 与平面 $B C D^{'}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{8}$ ？若存在，求出 $\frac{P Q}{P D^{'}}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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